Math Lab

数学にセンスはいらない。

漸化式とその解き方


漸化式は数列の基本が理解できていれば何も難しくはありません.ただ,式変形は覚えることが多いので少し大変かもしれません.

  1. 漸化式の意味を理解する.→隣同士の項の関係を表す.
  2. 漸化式といったら一般項.では,一般項を求められる数列は??→等差,等比,階差数列
  3. 与えられた漸化式がどんな数列なのか考える.等差なのか、階差なのか、よくわからない、、、なのか.
  4. よくわからない漸化式に関しては変形の仕方を覚えるしかない.ほとんどが等比型にもっていくことになるんだけどね。変形の仕方は問題解き進めながら覚えよう.

ここでは,最低限マスターしておいて欲しい漸化式を扱います.
3項間漸化式、連立漸化式も後日upします.

問題は全て次の問題文の元,解いてください.

次の条件によって定義される数列 \{a_{n}\} の一般項を求めよ.ただし,n=1,\ 2,\ 3,\ \cdotsとする.

基本数列

(1) a_{1}=4,\ \ \ a_{n+1}=a_{n}+6
(2) a_{1}=1,\ \ \ a_{n+1}=-5a_{n}
(3) a_{1}=1,\ \ \ a_{n+1}=a_{n}+2n

解答・解説

漸化式の問題では一般項を求めます.一般項を求めることができる数列は等差,等比,階差数列のいずれかです.パッと見てどんな数列かわかるでしょうか.分からない人は具体的に数値を代入して確かめて下さい.

(1) 初項4, 公差6の等差数列
   
\begin{eqnarray*}
a_{n}&=&4+6(n-1)\\
&=&6n-2
\end{eqnarray*}

(2) 初項1, 公比-5の等比数列
   
\begin{eqnarray*}
a_{n}&=&1・(-5)^{n-1}\\
&=&(-5)^{n-1}\\
\end{eqnarray*}

(3) 階差数列

n≧2のとき,

   
\begin{eqnarray*}
a_{n}&=&a_{1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}2k\\
&=&1+2・\frac{n(n-1)}{2}\\
&=&n^2-n+1
\end{eqnarray*}

n=1 のときも,a_{1}=1^2-1+1=1で成り立つ.


基本数列 その2

(4) a_{1}=4,   a_{n+1}=a_{n}+3^n
(5) a_{1}=4,   a_{n+1}=a_{n}+\dfrac{1}{n(n+1)}

解答・解説

階差数列をもう少し復習します.

a_n の係数が1で n からみの漸化式は階差数列です.

(4) 階差数列
n≧2 のとき,

   
\begin{eqnarray*}
a_{n}&=&a_{1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}3^k\\
&=&4+3・\dfrac{3^{n-1}-1}{3-1}\\
&=&4+\dfrac{1}{2}(3^n-3)\\
&=&\dfrac{1}{2}(3^n+5)
\end{eqnarray*}

n=1 のときも,a_{1}=\dfrac{1}{2}(3^1+5)=4 で成り立つ.

(5) 階差数列
n≧2 のとき,


\begin{eqnarray*}
a_{n}&=&a_{1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(k+1)}\\
&=&4+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\left(\dfrac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\\
&=&4+\displaystyle\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)\\
&=&4+1-\displaystyle\frac{1}{n}\\
&=&5-\displaystyle\frac{1}{n}
\end{eqnarray*}

n=1 のときも,a_{1}=5-\dfrac{1}{1}=4 で成り立つ.

分数和は部分分数分解

\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(k+1)}の公式はありません.部分分数分解を利用します.

等比と等差の混合型

(6) a_{1}=2,\ a_{n+1}=3a_{n}+1

解答・解説

(6) この数列はどんな数列でしょうか.a_{n}の係数3を隠せば,等差.1を隠せば等比数列になります.これを等差と等比の混合型と呼ぶとします.

基本的に漸化式は等比型に帰着させます.なぜなら,積の方が強いから.(私のイメージですが...)単純に式変形がしやすいんですよね.

a_{n+1}+\displaystyle\frac{1}{2}=3\left(a_{n}+\displaystyle\frac{1}{2}\right)と変形できる.

\left(\alpha=3\alpha+1 ∴ \alpha=-\displaystyle\frac{1}{2}\right)

数列\left\{a_{n}+\displaystyle\frac{1}{2}\right\}は初項\left(a_{1}+\displaystyle\frac{1}{2}\right), 公比3の等比数列

   
\begin{eqnarray*}
a_{n}+\displaystyle\frac{1}{2}&=\left(2+\displaystyle\frac{1}{2}\right)3^{n-1}\\
a_{n}&=\displaystyle\frac{5}{2}・3^{n-1}-\displaystyle\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}

等比と階差の混合型

(7) a_{1}=1,\ a_{n+1}=4a_{n}+3n+5

解答

(7) 等比型へ帰着

a_{n+1}+\alpha(n+1)+\beta=p(a_{n}+\alpha n+\beta) を目指せ

これも式変形の仕方を覚えるしかないです.等比型に帰着させることを強く意識しましょう.

展開して式を整理すると,

   a_{n+1}=4a_{n}+3\alpha n+(3\beta-\alpha)

与式と係数比較すると,\alpha=1,\ 3\beta-\alpha=5より,\alpha=1,\  \beta=2 となる.従って,

   a_{n+1}+(n+1)+2=4(a_{n}+n+2)

と変形できる.
数列\{ a_{n}+n+2\} は初項 (a_{1}+1+2) の公比4の等比数列なので,

   
\begin{eqnarray*}
a_{n}+n+2&=&(1+1+2)4^{n-1}\\
a_{n}&=&4^{n}-n-2
\end{eqnarray*}

指数型

(8) a_{1}=1,\ a_{n+1}=3a_{n}+3^{n+1}

解答・解説

3^{n+1} が嫌ですね.割って解消しましょう.
ただし,割り方は問題によって変わってきます.

両辺 3^{n+1} で割る.

   
\begin{eqnarray*}
\displaystyle\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}&=&3\cdot\frac{a_{n}}{3^{n+1}}+1\\
&=&\frac{a_{n}}{3^{n}}+1
\end{eqnarray*}
従って,数列 \left\{\displaystyle\frac{a_{n}}{3^n}\right\} は初項\displaystyle\frac{a_{1}}{3^1}, 公差1の等差数列

   
\begin{eqnarray*}
\displaystyle\frac{a_{n}}{3^n}&=&\frac{1}{3}+1\cdot(n-1)\\
&=& n-\displaystyle\frac{2}{3}
\end{eqnarray*}

   ∴ a_{n}= n\cdot 3^n-2\cdot3^{n-1}

a_{n} の係数に nを含む

(9) a_{1}=1,\ na_{n+1}=(n+1)a_{n}+n(n+1)

解答・解説

今度は,a_{n} の係数に nがあります.これを解消するために,掛けたり割ったりします.問題に合わせて対応する必要があります.

両辺 n(n+1) で割る.

   \displaystyle\frac{a_{n+1}}{(n+1)}=\frac{a_{n}}{n}+1

数列 \dfrac{a_{n}}{n} は初項 \left(\displaystyle\frac{a_{1}}{1}\right), 公差1の等差数列


\begin{eqnarray*}
\displaystyle\frac{a_{n}}{n}&=&\frac{1}{1}+1\cdot(n-1)\\
&=& n\\
∴ a_{n} &=& n^2
\end{eqnarray*}

分数型

(10) \displaystyle a_{1}=1,\ a_{n+1}=\frac{a_n}{4a_n+3}

解答・解説

分数形は逆数をとれ

a_{n}\neq 0 のとき,a_{n+1}\neq 0 であり,a_{1}=1 なのですべての n について a_{n}\neq 0

漸化式の逆数をとって

\begin{eqnarray*}
\displaystyle\frac{1}{a_{n+1}}&=&\frac{4a_{n}+3}{a_{n}}\\
&=& \frac{3}{a_{n}}+4
\end{eqnarray*}

(\alpha = 3\alpha+4 ∴ \alpha=-2)

\displaystyle\frac{1}{a_{n+1}}+2=3\left(\frac{1}{a_{n}}+2\right)

と変形できる。数列 \displaystyle\left\{\frac{1}{a_{n}}+2\right\} は初項\displaystyle\left(\frac{1}{a_{1}}+2\right) の公比3の等比数列


\begin{eqnarray*}
\displaystyle\frac{1}{a_{n}}+2&=&\left(\frac{1}{1}+2\right)\cdot 3^{n-1}\\
\frac{1}{a_{n}} &=& 3^{n}-2\\
∴ a_{n}&=& \frac{1}{3^n-2} 
\end{eqnarray*}

累乗型

(11) \displaystyle a_{1}=2,\ a_{n+1}=2\sqrt{a_{n}}

解答・解説

a_{n} 累乗型は対数とれ

両辺 \log_{2} をとると

\begin{eqnarray*}
\displaystyle\log_{2}a_{n+1}&=&\log_{2}2\cdot a_{n}^{\frac{1}{2}}\\
&=&\frac{1}{2}\log_{2}a_{n}+1
\end{eqnarray*}

\left(\alpha=\displaystyle\frac{1}{2}\alpha+1,\ \alpha =2\right)


\displaystyle\log_{2}a_{n+1}-2=\frac{1}{2}\left(\log_{2}a_{n}-2\right)

と変形できる.
数列 \{\log_{2}a_{n}-2\} は初項 (\log_{2}a_{1}-2) の公比\displaystyle\frac{1}{2} の等比数列


\begin{eqnarray*}
\displaystyle\log_{2}a_{n}-2&=&(\log_{2} a_{1}-2)\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\\
&=& (\log_{2}2-2)\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\\
\log_{2}a_{n}&=&-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}+2\\
∴ a_{n}&=&2^{2-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}}
\end{eqnarray*}