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Math Lab

数学に思考力,発想力なんかいらない!

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数学に思考力,発想力なんかいらない!!!
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2014年 東工大 倍数の証明 〜東工大の数学〜

2014年 東工大

3以上の奇数 n に対して,a_{n}b_{n} を次のように定める.

a_{n}=\displaystyle\dfrac{1}{6}\sum_{k=1}^{n-1}(k-1)k(k+1) , b_{n}=\dfrac{n^2-1}{8}

(1) a_{n}b_{n} はどちらも整数であることを示せ.
(2) a_{n}-b_{n} は4の倍数であることを示せ.

思考力,発想力なんかいらない!

簡単な整式の式なので,

連続する整数の積を考えます.

  • 連続する2整数の積は偶数
  • 連続する3整数の積は6の倍数

解答

(1) a_{n}= \displaystyle\dfrac{1}{6}\sum_{k=1}^{n-1}(k-1)k(k+1) , b_{n}= \dfrac{n^2-1}{8}

k-1,\ k,\ k+1 は連続する3整数なので,この積は6の倍数である.よって,

\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(k-1)k(k+1) は6の倍数で,a_{n} は整数となる.

また,b_{n}= \dfrac{1}{8}(n-1)(n+1) で,n は3以上の奇数なので,

(n-1),\ (n+1) の両方とも偶数で,(n-1),\ (n+1) の一方は4の倍数であるから,(n-1)(n+1) は8の倍数となる.

(2)
   
\begin{align}
a_n&=\dfrac{1}{6}\sum_{k=1}^{n-1}(k-1)k(k+1)\\
&=\dfrac{1}{6}\sum_{k=1}^{n-1}(k^3-k)\\
&=\dfrac{1}{6}\left[\left\{\dfrac{(n-1)n}{2}\right\}^2-\dfrac{(n-1)n}{2}\right]\\
&=\dfrac{1}{24}(n-2)(n-1)n(n+1)
\end{align}

であるから,

   
\begin{align}
&a_{n}-b_{n}\\
&=\dfrac{1}{24}(n-2)(n-1)n(n+1)-\dfrac{1}{8}(n-1)(n+1)\\
&=\dfrac{1}{24}(n-1)(n+1)\{(n-2)n-3\}\\
&=\dfrac{1}{24}(n+1)^{2}(n-1)(n-3)
\end{align}

となる.ここで,n=2m-1 (m は整数) とおくと,

   
\begin{align}
&a_{n}-b_{n}\\
&= \dfrac{1}{24}(2m)^{2}(2m-2)(2m-4)\\
&=\dfrac{2}{3}m^{2}(m-1)(m-2)
\end{align}

連続する3整数 m,\ m-1,\ m-2 は6の倍数なので,\dfrac{2}{3}\times 6l=4l

a_{n}-b_{n} は4の倍数となる.