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数学に思考力,発想力なんかいらない!

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2013年 一橋大 不定方程式 〜一橋大の数学〜

2013年 一橋大

 3p^{3}-p^2q-pq^{2}+3q^{2}=2013 を満たす正の整数 p,\ q の組をすべて求めよ.

思考力,発想力なんかいらない!

3次の不定方程式なので,積の形へ持ち込みます.

対称式にも注目しましょう.

解答

   \begin{align}
&3p^{3}-p^2q-pq^{2}+3q^{2}\\
&=3(p^{3}+q^{3})-pq(p+q)\\
&=(p+q)\{3(p^2-pq+q^{2})-pq\}\\
&=(p+q)\{(3(p+q)^2-10pq\}
\end{align}

より,

   (p+q)\{3(p+q)^2-10pq\}=2013=3\times11\times61

p+q=s,\ pq=t とすると,

   s(3s^2-10t)=3\times11\times61

(i) s=3 のとき,3s^2-10t=11\times61

   27-10t=11\times61

   t=\dfrac{-272}{5}

t=pq>0 より不適

(ii) s=11 のとき

   3s^2-10t=3\times61=183
   3\times121-10t=183
   363-10t=183
   t=18

p+q=11 , pq=18 より

   p=2, q=9
   p=9, q=2


(iii) s=61 のとき,

   3s^2-10t=3\times11=33
   3\times3721-10t=33
   11163-10t=33
   t=1113

p+q=33 , pq=1113 となる正の整数 p ,\ q は存在しない

よって求める (p,\ q)(2,\ 9) ,\ (9,\ 2)