読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

Math Lab

数学に思考力,発想力なんかいらない!

Math Lab

数学に思考力,発想力なんかいらない!!!
MENU

2012年 一橋大 整数問題 不定方程式 約数 〜一橋大の数学〜

2012年 一橋大

1つの角が 120°の三角形がある.この三角形の3辺の長さ x,\ y,\ zx\lt y\lt z
を満たす整数である.
(1) x+y-z=2 を満たす x,\ y,\ z の組をすべて求めよ.
(2) x+y-z=3 を満たす x,\ y,\ z の組をすべて求めよ.
(3) a,\ b を 0 以上の整数とする.x+y-z=2^{a}3^{b} を満たす x,\ y,\ z の組の個数を ab の式で表せ.

思考力,発想力なんかいらない!

(1), (2)は基本題です.
三角形で角度と長さが与えられているので余弦定理も使えということですね.
3文字の不定方程式なので「範囲を絞る」が基本です.

(3)は難しい.考える力が問われています.(1) (2)で実験で先が見えれば食らいつけそうです.

難しいですが,必要な知識は基本的なので,演習には最適な一題です.

解答

(1) 三角形の最大の内角は 120°, 最大の辺の長さは z なので余弦定理より,
   
\begin{align}
z^{2}&=x^{2}+y^{2}-2xy\cos 120°\\
&=x^{2}+y^{2}+xy .. ①
\end{align}

ここで,

   x+y-z=2

   z=x+y-2 より,2乗して

   z^2=x^2+y^2+4+2xy-4y-4x

①に代入して,

   x^2+y^2+4+2xy-4y-4x=x^{2}+y^{2}+xy
   xy-4y-4x+4=0
   (x-4)(y-4)=16

0\lt x\lt y より -4\lt x-4\lt y-4 であるから,

   (x-4,\ y-4)=(1,\ 12) , (2,\ 6) , (3,\ 4)
   (x,\ y)=(5,\ 16) , (6,\ 10) , (7,\ 8)

(2) (1)と同様に

   (x-6)(y-6)=27

-6\lt x-6\lt y-6 であるから,

   (x-6,\ y-6)=(1,\ 27) , (3,\ 9)
   (x,\ y)=(7,\ 33) , (9,\ 15)
   (x,\ y,\ z)=(7,\ 33,\ 37) , (9,\ 15,\ 21)


(3) これも同様に,

    x+y-z=2^{a}3^{b}

   z=x+y-2^{a}3^{b}

2乗して,z^2=x^2+y^2+2^{2a}3^{2b}+2xy-y2^{a+1}3^{b}-x2^{a+1}3^{b}


①に代入して

   x^{2}+y^{2}+xy=x^2+y^2+2^{2a}3^{2b}+2xy-y2^{a+1}3^{b}-x2^{a+1}3^{b}
   xy-y2^{a+1}3^{b}-x2^{a+1}3^{b}+2^{2a}3^{2b}=0

   (x-2^{a+1}3^b)(y-2^{a+1}3^b)=2^{2(a+1)}3^2b-2^{2a}3^{2b}=2^{2a}3^{2b}(4-1)
   (x-2^{a+1}3^b)(y-2^{a+1}3^b)=2^{2a}3^{2b+1}\cdots②

★かけて,2^{2a}3^{2b+1}になるものを考えるので,2^{2a}3^{2b+1}の約数を考えます.その前に,範囲と大小を絞りましょう.

ここで,

   x\lt y\lt zから

   x\lt y\lt x+y-2^{a}3^{b}

   2^{a}3^{b}\lt x\lt y\cdots③

そして,②から

X=x-2^{a+1}3^{b}, Y=y-2^{a+1}3^{b} とおくと,

XY=2^{2a}3^{2b+1}

③から 

   2^{a}3^{b}-2^{a+1}3^{b}\lt x-2^{a+1}3^{b}\lt y-2^{a+1}3^{b}

   -2^{a}3^{b}(2-1)=-2^{a}3^{b}\lt x-2^{a+1}3^{b}\lt y-2^{a+1}3^{b}
   
   -2^{a}3^{b}\lt X\lt Y

X,\ Y かけて,2^{2a}3^{2b+1}になるもにはX, Yが両方とも正,両方負の2パターンあります.

(i) -2^{a+1}3^b\lt X\lt Y\lt 0 のとき,

   XY\lt(-2^{a}3^{b})^2=2^{2a}3^{2b}\lt2^{2a}3^{2b+1}

となり,XY=2^{2a}3^{2b+1}となる,XY は存在しない.

(ii) 0\lt X\lt Y のとき,

XY=2^{2a}3^{2b+1}となる XY の個数は 2^{2a}3^{2b+1} の約数で,X\lt Y となるものを考える.

2^{2a}3^{2b+1} の約数は全部で (2a+1)(2b+2) 個あり,

これらの約数から X, YX\lt Y, X\gt Y となるものがそれぞれ同数作れるので,

求める個数は,(2a+1)(2b+2) の半分で,(2a+1)(b+1)