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Math Lab

数学に思考力,発想力なんかいらない!

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数学に思考力,発想力なんかいらない!!!
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2010年 大阪大 整数 不定方程式 〜阪大の数学〜

2010年 大阪大

l,\ m,\ n を3以上の整数とする.等式 \left( \dfrac{n}{m}-\dfrac{n}{2}+1\right)l=2
を満たす l,\ m,\ n の 組をすべて求めよ.

思考力,発想力なんかいらない!

3文字なので,「範囲を絞る」が基本です.そこで,勝手に仮定します.

   3≦l≦m≦n とする.ln に置き換えて不等式作ってみます.

左辺=\left( \dfrac{n}{n}-\dfrac{n}{2}+1\right)n

んーでも,引き算,分数が混合してるのでこのままでは大小わからんです.

それなら式変形を試してみましょう.

分数が嫌なので...

解答

   \left(\dfrac{n}{m}-\dfrac{n}{2}+1\right)l=2

両辺を 2m 倍して,

   (2m+2n-mn)l=4m\cdots①

★積の形が作れているので,利用しましょう.無理なら展開して再度整理です.

l>0,\ m>0 で右辺正なので,

   2m+2n-mn>0

   mn-2m-2n<0

   (m-2)(n-2)<4

m\geqq 3,\ n\geqq 3 であるから,

★大分絞れそうです.

   (m-2,\ n-2)=(1,\ 1) , (1,\ 2) , (2,\ 1) , (1,\ 3) , (3,\ 1)

   (m,\ n)=(3,\ 3) , (3,\ 4) , (4,\ 3) , (3,\ 5) , (5,\ 3)

これと①から l を求めると,

   (l,\ m,\ n)=(4,\ 3,\ 3) , (6,\ 3,\ 4) , (8,\ 4,\ 3) , (12,\ 3,\ 5) , (20,\ 5,\ 3)