Math Lab

数学にセンスはいらない。

2009年 名古屋大 整数問題 不定方程式 〜名大の数学〜

2009年 名古屋大 選択問題

x, y を正の整数とする.
(1) \dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{4} をみたす組 (x,\ y) をすべて求めよ.
(2) p を3以上の素数とする. \dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{p} をみたす組 (x, y) のうち,2x+3y を最小にする (x,\ y) を求めよ.

思考力,発想力なんかいらない!

不定方程式の基本題です.

分母を払えば積の形へ持ち込めます.

素数」というワードが出てきますが,今回は影響しません.ビビらずに.

解答

(1) 両辺を 4xy 倍して分母を払うと,

   8y+4x=xy
   (x-8)(y-4)=32

x-8>-8,\ y-4>-4 より,

   (x-8, y-4)=(1, 32) , (2,\ 16) , (4,\ 8) , (8,\ 4) , (16,\ 2) , (32,\ 1)

   (x, y)=(9, 36) , (10,\ 20) , (12,\ 12) , (16,\ 8) , (24,\ 6) , (40,\ 5)


(2) 両辺を pxy 倍して分母を払うと,

   2py+px=xy
   (x-2p)(y-p)=2p^{2}

p は3以上の素数で,x-2p>-2p,\ y-p>-p より,

   (x-2p, y-p)=(1,\ 2p^{2}) , (2,\ p^{2}) , (p,\ 2p) , (2p,\ p) , (p^{2},\ 2) , (2p^{2},\ 1)

   (x, y)=(2p+1,\ 2p^2+p) , (2p+2,\ p^2+p) , (3p,\ 3p) , (3p,\ 2p) , (p^2+2p,\ p+2) , (2p^2+2p, p+1)

2x+3y はそれぞれ

   6p^2+7p+2\cdots① , 3p^2+7p+4\cdots② , 15p\cdots③ , 14p\cdots④ , 2p^2+7p+6\cdots⑤ , 4p^2+7p+3\cdots⑥

となる.これから大小を比較する.

   ①-⑥=2p^2-1>0
   ⑥-②=p^2-1>0
   ②-⑤=p^2-2>0
   ③-④>0

最小値の候補は,④か⑤

   ⑤-④=2p^2-7p+6=(p-2)(2p-3)>0 (∵ p≧3)

よって,④が最小

   (x,\ y)=(4p,\ 2p)