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数学に思考力,発想力なんかいらない!

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2012年 東工大 非回転体の体積 四面体 〜東工大の数学〜

2012年 東工大

xyz 空間に4点 P(0,\ 0,\ 2) , A(0,\ 2,\ 0) , B(\sqrt{3},\ -1,\ 0) , C(-\sqrt{3},\ -1,\ 0)x^{2}+y^{2}\geqq 1 をみたす部分の体積を求めよ.

思考力,発想力なんかいらない!

非回転体の体積は断面を考えます.

断面がわかりやすいように切断しましょう.

解答

4点A, B, C, Dをとると,下図のような正四面体となる.

   f:id:mathchem:20170316204319p:plain:w300

対称性を考え,求める体積は,上図の太線部の, x^{2}+y^{2}\geqq 1 を満たすものを6倍すればよい.

まず,z=0 で切断すると,下図のようになる.

   f:id:mathchem:20170316204334p:plain:w300

★どう切断したら断面がわかりやすいか,複数の平面をとらえます.今回は上図のように,y=t で切断すると必要な座標が求めやすい.

斜線部が求める体積の部分で,太線部が y=t 上の部分である.また,x^{2}+y^{2}\geqq 1 を満たす体積が存在するのは,-1≦y≦-\dfrac{1}{2} である.

よって,y=t で切断すると,断面は,下図の網目部分で,ようになる.

   f:id:mathchem:20170316204345p:plain:w300

よって,断面積は

    \begin{align}
S(t)&=\left(-\sqrt{3}t-\sqrt{1-t^2}\right)(2t+2)\\
&=2\left\{-\sqrt{3}(t^{2}+t)-t\sqrt{1-t^{2}}-\sqrt{1-t^2}\right\}
\end{align}

となるから,求める体積は,

   
\begin{align}
&6\int_{-1}^{-\frac{1}{2}} S(t)dt\\
&=12 \left\{\left[-\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{3}t^{3}+\dfrac{1}{2}t^2\right)+\dfrac{1}{3}\left(1-t^2\right)^{\frac{3}{2}}\right]_{-1}^{-\frac{1}{2}}-\int_{-1}^{-\frac{1}{2}}\sqrt{1-t^2}\right\}\\
&=12\left\{\dfrac{5\sqrt{3}}{24}-\left(\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\sqrt 3}{8}\right)\right\}\\
&=4\sqrt 3-2\pi
\end{align}

 \displaystyle\int_{-1}^{-\frac{1}{2}}\sqrt{1-t^{2}}dt は半径1の円の面積を考えて求めた.