Math Lab

数学にセンスはいらない。

2011年 名古屋大 回転体の体積 図形の回転 〜名大の数学〜

2011年 名古屋大 理系

-\dfrac{1}{4}\lt s\lt \dfrac{1}{3} とする.xyz 空間内の平面 z=0 の上に長方形

   R_{s}=\{ (x,\ y,\ 0)|1\leqq x\leqq 2+4s,\ 1\leqq y\leqq 2-3s\}

がある.長方形 R_{s}x 軸のまわりに1回転してできる立体を K_{s} とする.

(1) 立体 K_{s} の体積 V(s) が最大となるときの s の値,およびそのときの V(s) の値を求めよ.
(2) s を(1)で求めた値とする.このときの立体 K_{s}y 軸のまわりに1回転してできる立体 L の体積を求めよ.

思考力,発想力なんかいらない!

回転体の体積は,回転軸に垂直に切断し,断面を考えます.

切ってから回転させ断面を考えますが,必要な座標を求めるために複数の平面を考えます.

解答

(1) K_{s} は,図のようなの円柱から円柱をくりぬいたような立体である.

   f:id:mathchem:20170316194818p:plain:w300

   
\begin{align}
V(s)&=\pi\{(2-3s)^{2}-1^{2}\}(1+4s)\\
&=3\pi(1-13s^{2}+12s^{3})
\end{align}

よって,

   
\begin{align}
V'(s)&=3\pi(-26s+36s^{2})\\
&=6\pi s(18s-13)
\end{align}

となり,V'(s)=0 となるのは,s=0,\ \dfrac{18}{13} のとき,

-\dfrac{1}{4}\lt s \lt \dfrac{1}{3} なので,s=0 のとき極大値かつ最大値となり

求める値は 3\pi


(2) (1)より,s=0 となるので,K_{0}y 軸まわりに1回転させたものが立体 L である.

 K_{0}1\leqq x\leqq 2 の部分で,x 軸の正方向から見ると下図のようになる.

★断面の情報を得るために,複数の平面を見ます.

   f:id:mathchem:20170316194838p:plain:w300

対称性を考えると求める体積は,y\geqq 0 の部分の体積 W を2倍すればよい.

次に,平面 y=t における K_{0} の断面積を考える.まず,回転させる前に切断すると,断面は下図の長方形の部分になる.

   f:id:mathchem:20170316194852p:plain:w500

そして,(0,\ t,\ 0) を中心に y 軸に回転させたときの断面は図のようなドーナツ型となる

(0,\ t,\ 0) から斜線部までの最短距離,最長距離を考え,断面積 S(t)

   \displaystyle
S(t)=\begin{array}
\{\{(4-t^2+2^2)-(1-t^2+1^2)\}\pi=6\pi \ \ (0\leqq t\leqq 1)\\
\{(4-t^2+2^2)-1^2\}\pi =(7-t^{2})\pi\ \ (1\leqq t\leqq 2)
\end{array}

となる.よって,求める体積は,

   
\begin{align}
2W&=2\left\{\int_{0}^{1}6\pi dt+\int_1^{2}(7-t^{2})\pi dt\right\}\\
&=2\left(6\pi+\pi\left[7t-\dfrac{1}{3}t^{3}\right]_{1}^{2}\right)\\
&=\frac{64}{3}\pi
\end{align}