読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

Math Lab

数学に思考力,発想力なんかいらない!

Math Lab

数学に思考力,発想力なんかいらない!!!
MENU

2007年 東北大 回転体の体積 図形を回転 〜東北大の数学〜

2007年 東北大 理系

xyz 空間において,点 (1,\ 0,\ 1) と点 (1,\ 0,\ 2) を結ぶ線分を l とし, lz 軸のまわりに一回転してできる図形を A とする.Ax 軸のまわりに一回転してできる立体の体積を求めよ.

思考力,発想力なんかいらない!

回転体の体積は,回転軸に垂直に切断し,断面を考えます.

今回は,立体(図形)を回転させているので,どんな図形になるか想像しにくいです.


それでも高校数学では問題なくて,積分を用いれば求積できます.


断面を考えて微小体積を求め、それを積分すれば体積になるからです.

回転軸に垂直に切断するのが最大のポイントです.


断面を考えるのが難しいのですが,断面は,切ってから回転させても,回転させたものを切っても同じですから,

考えにくいときは,切ってから回転させるとわかりやすいです.


解答

立体 A は,次の図の円柱の側面である.

★円柱ではないです.

   f:id:mathchem:20170316182816p:plain:w300

次に立体 A を平面 x=t\ \ (-1\leqq t\leqq 1) で切断し, 断面を考える.
x 軸回転ですから,これに垂直に切断します.回転させる前に切ります.

回転させる前の断面は次の図の太線である.

   f:id:mathchem:20170316182824p:plain:w400

この太線を平面 x=t 上で (t,\ 0,\ 0) を中心に一回転させたものが

求める立体の x=t による断面で図の斜線部となる.

断面積は半径 \sqrt{(\sqrt{1-t^2})^2+2^2} の円から,半径 \sqrt{(\sqrt{1-t^2})^2+1^2} の円の面積を除いたもので
★太線が通過する面積は,最短距離最長距離を考えます.

   S(t)=\pi[\{(\sqrt{1-t^2})^2+2^2\}-\{(\sqrt{1-t^2})^2+1^2\}]

よって,求める体積は,対称性を考え,

   
\begin{align}
& 2\pi \displaystyle\int_{0}^{1}\{(1-t^{2}+2^{2})-(1-t^{2}+1^{2})\}dt\\
&=2\pi\int_{n}^{1}(2^{2}-1^{2})dt\\
&=2\cdot 3\pi\int_{0}^{1}dt\\
&=6\pi
\end{align}