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背理法とその使い時

背理法とその使い時

背理法は,無理数の証明のときに使うのが有名ですね.

無理数の証明はやりずらいので,有理数と仮定して矛盾を示します.

無理数の証明で有名ですが,無理数に限らず

証明しずらい論証問題では背理法が有効になることがしばしばあります.



例題 無理数の証明 有名題

以下の問いに答えよ.
(1) \sqrt{5}無理数であることを証明せよ.
(2) p を 0 でない有理数q有理数とするとき,p\sqrt{5}+q無理数であることを証明せよ.

解答

(1) \sqrt{5}有理数だと仮定すると,

\sqrt{5}=\dfrac{q}{p} (p,\ q は互いに素の自然数)

と表せる.辺々 p 倍して,2乗すると,

    5 p^2=q^2

左辺が5の倍数なので,右辺も5の倍数になるので,
q^2 が 5の倍数になる.よって q が5の倍数となる.q=5q' とすると,

   5p^2=25q'^2 ∴ p^2=5q'2

で,右辺が5の倍数なので,p^2 が5の倍数となり,p が5の倍数となる.

これは,p,\ q が互いに素な自然数であることに矛盾.

よって,\sqrt{5}無理数となる.

(2) (1)が利用できます.
p\sqrt 5+q有理数であると仮定する.
p\sqrt{5}+q=r (r有理数)とおく.

   \sqrt{5}=\dfrac{r-q}{p}=\dfrac{(有理数)-(有理数)}{(有理数)} =(有理数)

これは(1)に矛盾.よって,p\sqrt{5}+q無理数であることが示された.

2006年 京大 後期 超有名問題!

\tan1°有理数か.

考え方

これまで出題された入試問題で一番問題文が短いと噂の,2006年京大・後期の問題です.

あまりに有名なので見たこともある人も多いでしょう.


ここの難しいところは有理数なのか?無理数なのか?不明な所です.



仮定して議論を進めていくのがよさそう?

解答

\tan1°有理数と仮定する.


★仮定したところで直接矛盾を示せません.有名角に注目します.

加法定理より,

   \tan2°=\dfrac{\tan1°+\tan1°}{1-\tan1°\tan1°}

   \dfrac{(有理数)+(有理数)}{1+(有理数)(有理数)}  =(有理数)

となり,\tan1°有理数.これを繰り返していくと,

\tan3°有理数で,\tan4°, \cdots,  \tan30°,\cdots それぞれも有理数となる.

しかし,\tan30°=\dfrac{1}{\sqrt{3}}無理数なので矛盾する.

(\sqrt{3}無理数として良いでしょう)

よって,\tan1°無理数


★どうやって矛盾を示すか,が難しいです.