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ガウス記号の問題とその解き方

ガウス記号の問題とその解き方

実数 x に対して,x 以下の最大の整数を [x] と表す

これがガウス記号の意味です.

これから

   n≦x≦n+1,\ [x]≦ x≦[x]+1

の不等式を作ることができます.これを利用して問題を解いていきます.

ガウス記号の問題がきたら上の不等式を真っ先に思い出しましょう.

例題

実数 a に対して n\leqq a\lt n+1 を満たす整数 n を記号 [a] で表す.次の問いに答えよ.
(1) [-3.1] を求めよ.
(2) [x^2+6x-4]=10x となる x の範囲を求めよ.
(3) [x]^2-2[x]=0 を満たす x の値の範囲を求めよ.
(4) x^2-2[x]=0 を満たす x の値をすべて求めよ.

解答

(1) -4\leqq-3.1\lt-3 より [-3.1]=-4

(2) [x^{2}+6x-4]=10x より,10x は整数で,

   10x\leqq x^{2}+6x-4\lt10x+1

   \underline{x^{2}-4x-4\geqq 0}_①,\ \underline{x^{2}-4x-5\lt0}_②

①より, x\leqq 2-2\sqrt{2} , x\geqq 2+2\sqrt{2}

②は,(x-5)(x+1)\lt0  ∴-1\lt x\lt5

まとめると,

   -1\lt x\leqq 2-2\sqrt{2} または 2+2\sqrt{2}\leqq x\lt 5

(3) [x]^2-2[x] より,[x]([x] -2)=0

   [x]=0, 2

   ∴0\leqq x\lt1, 2\leqq x\lt3

(4) x^2-2[x]=0 より,x^2=2[x]\cdots ①

また,[x]= \dfrac{x^2}{2}\cdots②

一方,[x]\leqq x\lt [x]+1

これに②を代入して,

   \dfrac{x^2}{2}\leqq x\lt\dfrac{x^{2}}{2}+1

左半より x^{2}-2x\leqq 0

   x(x-2)\leqq 0
   0\leqq x\leqq 2

右半分より x^2-2x+2\gt0 で,これは常に成り立つ.

よって,
0\leqq x\lt1 のとき,①より,x^{2}=0 ∴x=0
1\leqq x\lt2 のとき,①より,x^{2}=2 ∴x=\sqrt{2}
x= 2 のとき,①より,x^{2}=4 ∴ x=2

以上からx=0,\ \sqrt{2},\ 2