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Math Lab

数学に思考力,発想力なんかいらない!

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倍数の証明とその解き方

倍数の証明

連続する積の利用

連続する2数の積は2の倍数
連続する3数の積は3の倍数

は明らかとして使用します.

式変形で連続する数が作れるとき有効です.

しらみつぶしに調べる

例:5の倍数,と言われたら
n=5k+1,\ 5k+2,\ 5k+3,\ 5k+4
を代入してすべて調べる

代入する式が簡単なときに有効です.

余りに注目

例:5の倍数であれば5で割った余りが0

を利用します.

余りが調べやすいときには有効です.

困ったときの帰納法

上記で無理そうなら帰納法です.

自然数 n を含む証明しずらい問題には帰納法が有効です.


例題 連続する数の積

整数 n に対して,2n^{3}+9n^{2}+13n は6の倍数となることを示しなさい.

解答

連続する3数を作ります.

 n(n+1)(n+2)=n^{3}+3n^{2}+2n
(n+1)(n+2)(n+3)=n^{3}+6n^{2}+11n+6 であるから,

   2n^{3}+9n^{2}+13=n(n+1)(n+2)+(n+1)(n+2)(n+3)-6

よって,3の倍数

他にも変形できるかと思います


例題 余りに注目

n が自然数のとき,4^{3n-1}-7^{2n-2} が15の倍数となることを証明しなさい.

解答

証明しずらい問題で自然数 nを含む問題なので,帰納法も有効です.

余りに注目して合同式で解いてみます.

15で割った余りが0ということを示します.

解答


   4^{3n-1}=4\cdot(4^{3})^{n-1}=16\cdot(64)^{n-1}

であるが,

16≡1,\ 64≡4  (\mod 15) より,

   4^{3n-1}≡ 1\cdot 4^{n-1}=4^{n-1}

また,

   7^{2n-1}=49^{n-1}

で,49≡4\ (\mod 15) より

   7^{2n-1}≡4^{n-1} (\mod 15)

よって,

4^{3n-1}-7^{2n-2}≡4^{n-1}-4^{n-1}=0

よって,15で割った余りが0なので,15の倍数となる.