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数学に思考力,発想力なんかいらない!

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数学に思考力,発想力なんかいらない!!!
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*2014年 名古屋大 回転体の体積 立体を回転 〜名大の数学〜

2014年 名古屋大 理系

空間内にある半径1の球 (内部を含む) を B とする.直線 lB が交わっており,その交わりは長さ \sqrt{3} の線分である.
(1) B の中心と l との距離を求めよ.
(2) l のまわりに B を1回転してできる立体の体積を求めよ.

思考力,発想力なんかいらない!

回転体の体積ですね.立体を回転させています.

回転軸に垂直に切断します.切ってから回転させましょう.



(1)
f:id:mathchem:20170314171739p:plain:w300
B の中心から l に下ろした垂線の長さが求めるもので,

   \sqrt{1^2-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\dfrac{1}{2}

(2) 直線 lx 軸上にとり,B の中心から l に下ろした垂線の足を原点 O とする.

回転させる前に x=k で切断した断面を考え,その後回転させる.対称性から 0≦x≦1 の範囲で考えればよく.
f:id:mathchem:20170314171756p:plain
(i) 0 \leqq k\leqq\dfrac{\sqrt{3}}{2} のときの断面は図のようで,

回転させたときの断面は,半径 \dfrac{1}{2}+\sqrt{1-k^{2}} の円で

   
\begin{align}
S(k)&= \pi\left(\dfrac{1}{2}+\sqrt{1-k^{2}}\right)^{2}\\ 
&= \pi\left(\dfrac{5}{4}-k^{2}+\sqrt{1-k^{2}}\right) 
\end{align}

(ii) \dfrac{\sqrt{3}}{2}≦k≦1 のときの断面は図のようで,

回転させたときの断面は,半径 \dfrac{1}{2}+\sqrt{1-k^{2}} の円から,半径 \dfrac{1}{2}-\sqrt{1-k^{2}} の円の面積を除いたもの。

   
\begin{align}
S(k)&= \pi\left(\dfrac{1}{2}+\sqrt{1-k^{2}}\right)^{2}-\pi\left(\dfrac{1}{2}-\sqrt{1-k^{2}}\right)^{2}\\
&=2\pi\sqrt{1-k^{2}}
\end{align}

となる.よって,求める体積 V は,

   
\begin{align}
V&=2\left\{\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\pi\left(\dfrac{5}{4}-k^{2}+\sqrt{1-k^{2}}\right)dk+\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1}2\pi\sqrt{1-k^{2}}dk \right\}\\
&=2\pi\left\{\left[\dfrac{5}{4}k-\dfrac{1}{3}k^{3}\right]_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}+\underline{\int_{0}^{1}\sqrt{1-k^{2}}dk}_①+\underline{\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1}\sqrt{1-k^{2}}dk}_②\right\}\\
&=2\pi\left\{\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\pi}{4}+\left(\dfrac{\pi}{12}-\dfrac{\sqrt{3}}{8}\right)\right\}\\
&=2\pi\left(\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{3}{8}\sqrt{3}\right)
\end{align}

①は半径1の円の1/4の面積で,②は半径1の円の1/12の面積から,底辺 \dfrac{\sqrt 3}{2} 高さ,\dfrac{1}{2} の直角三角形の面積を除いたもの.