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数学にセンスはいらない。

2013年 東北大 非回転体の体積 円柱の切断 〜東北大の数学〜

2013年 東北大

半径1の円を底面とする高さ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} の直円柱がある.底面の円の中心を \mathrm{O} とし,直径を1つ取り\mathrm{A}\mathrm{B} とおく.\mathrm{A}\mathrm{B} を含み底面と 45° の角度をなす平面でこの直円柱を2つの部分に分けるとき,体積の小さい方の部分を V とする.
(1) 直径 AB と直交し,O との距離が t\ \ (0\leqq t\leqq1) であるような平面で V を切ったときの断面積 S(t) を求めよ.
(2) V の体積を求めよ.

思考力,発想力なんかいらない!

円柱の切断です.

切断の仕方も指定されているので,方針には困らないでしょう.

ただ,中途半端な切断で場合分けが生じます.

解答

(1)
A(1,\ 0,\ 0) , B(-1,\ 0,\ 0) とおき,次の図を考える.
f:id:mathchem:20170314160730p:plain:w400
x=t で切断するので,このときの y 座標は \sqrt{1-t^2}

断面は,次のようになる.
f:id:mathchem:20170314163104p:plain
(i)
\sqrt{1-t^2}≦\dfrac{1}{\sqrt 2} ,つまり,0≦t≦\dfrac{1}{\sqrt{2}} のとき,

図のような台形なので,

   
\begin{align}
S(t)&= \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left\{\sqrt{1-t^2}+\sqrt{1-t^{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right\}\\
&=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{1-t^{2}}-\frac{1}{4}
\end{align}


(ii) \sqrt{1-t^2}≧\dfrac{1}{\sqrt 2} ,つまり \dfrac{1}{\sqrt{2}}\leqq t\leqq 1 のとき,

図のような直角二等辺三角形になるので,

   
\begin{align}
S(t)&= \dfrac{1}{2}\cdot(\sqrt{1-t^{2}})^{2}\\
&=\frac{1}{2}(1-t^{2})
\end{align}

(2) 求める体積は yz 平面に関して対称なので,

   
\begin{align}
V&= 2 \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \left( \frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{1-t^{2}}- \frac{1}{4}\right)dt+2\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}
^{1}\dfrac{1}{2}(1-t^{2})dt\\
&= \sqrt{2}\underline{\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\sqrt{1-t^2}dt}_①-\dfrac{1}{2}\int_
{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}dt+\underline{\int_{\frac{1}{\sqrt 2}}^{1}(1-t^{2})dt}_②
\end{align}

   
\begin{align}
①&=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}+\frac{1}{2}\cdot 1^{2}\cdot\frac{\pi}{4}\\
&=\frac{1}{4}+\frac{\pi}{8}
\end{align}

(半径1の円を考えた)

   
\begin{align}
②&=\left[t-\dfrac{1}{3}t^{3}\right]_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^1\\
&=\frac{2}{3}-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{6\sqrt{2}}\right)\\
&=\frac{2}{3}-\frac{5}{6\sqrt{2}}
\end{align}

であるから,

   
\begin{align}
V &= \sqrt{2}\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{\pi}{8}\right)-\dfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{5}{6\sqrt{2}}\\
&= \dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{12}\sqrt{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{8}\pi
\end{align}