読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

Math Lab

数学に思考力,発想力なんかいらない!

Math Lab

数学に思考力,発想力なんかいらない!!!
MENU

2015年 大阪大 面積評価 〜阪大の数学〜

2015年 大阪大 理系

\displaystyle\sum_{n=1}^{40000}\frac{1}{\sqrt{n}} の整数部分を求めよ.

思考力,発想力なんかいらない!

問題文が短くてビビります,が \displaystyle\sum _{k=1}^n \dfrac{1}{k} といった単調減少関数のシグマは面積評価?

整数部分なので,不等式を作りましょう.

解答

関数 f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}} とおく.f(x) は単調減少関数で,

図のように面積を比較する.

f:id:mathchem:20170314153320p:plain

   \displaystyle\int_{1}^{40001}\frac{1}{\sqrt{x}}dx<\displaystyle\sum_{n=1}^{40000}\frac{1}{\sqrt{n}}<1+\int_{1}^{40000}\frac{1}
{\sqrt{x}}dx


   {\Large[}2\sqrt{x}{\Large]}_{1}^{40001}<\displaystyle\sum_{n=1}^{40000}\frac{1}{\sqrt{n}} <1+{\Large[}2\sqrt{x}{\Large]}_{1}^{40000}

   398<2(\sqrt{40001}-1)<\displaystyle\sum_{n=1}^{40000}\frac{1}{\sqrt{n}} <2\sqrt{40000}-1=399

となり,求める整数部分は398である.