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Math Lab

数学に思考力,発想力なんかいらない!

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数学に思考力,発想力なんかいらない!!!
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2015年 九州大 面積評価 〜九大の数学〜

2015年 九州大

以下の問いに答えよ.
(1) 関数 y=\dfrac{1}{x(\log x)^2}x\gt 1 において単調に減少することを示せ.
(2) 不定積分 \displaystyle\int\dfrac{1}{x(\log x)^2}dx を求めよ.
(3) n を3以上の整数とするとき,不等式
   \displaystyle\sum_{k=3}^n\dfrac{1}{k(\log k)^2}\lt \dfrac{1}{\log 2}
が成り立つことを示せ.

思考力,発想力なんかいらない!

単調減少・増加関数に関する不等式では面積評価が有効!
特に \displaystyle \sum _{k=1}^n \dfrac{1}{k}, \ \sum_{k=1}^n \log k の形が多いので,この形を見たら面積評価?と疑えるように.

解答

(1) f(x)= \dfrac{1}{x(\log x)^{2}}\ \ (x\gt 1) とおく.

x\gt 1\log x \gt 0 で単調増加なので x(\log x)^{2}\gt 0 で単調増加である.

よって,f(x) は単調に減少.

微分しても良いでしょう.

(2)

   
\begin{align}
\int f(x)dx&=\int(\log x)^{-2}\cdot(\log x)'dx\\
&=-\dfrac{1}{1og x}+C (C は積分定数)
\end{align}


(3)
\displaystyle\sum_{k=3}^n\dfrac{1}{k(\log k)^2} は図の短冊の面積なので,図のように  f(x) の面積と比較すると,
f:id:mathchem:20170314152253p:plain:w300
   \begin{align}
\sum_{k=3}^n\dfrac{1}{k(\log k)^2}&\lt \int_{2}^{n}f(x)dx\\
&=\left[-\dfrac{1}{\log x}\right]_{2}^{n}\\
&=\dfrac{1}{\log 2}-\dfrac{1}{\log n}\\
&\lt\dfrac{1}{\log 2}
\end{align}