Math Lab

数学にセンスはいらない。

2015年 九州大 非回転体の体積 〜九大の数学

2015年 九州大 理系

座標空間内に,原点 \mathrm{O} (0,\ 0,\ 0) を中心とする半径1の球がある.下の概略図のように, y 軸の負の方向から仰角 \displaystyle \dfrac{\pi}{6} で太陽光線が当たっている.この太陽光線はベクトル (0,\ \sqrt{3},\ -1) に平行である. 球は光を通さないものとする.以下の問いに答えよ.

(1) 球の z\geqq 0 の部分が xy 平面上につくる影を考える。 k-1\lt k\lt 1 を満たす実数とするとき, xy 平面上の直線 x=k において,球の外で光が当たらない部分の y 座標の範囲を k を用いて表せ.
(2) xy 平面上において,球の外で光が当たらない部分の面積を求めよ.
(3) z\geqq 0 において,球の外で光が当たらない部分の体積を求めよ.
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思考力,発想力なんかいらない!

非回転体の体積は断面を考えます.

誘導が丁寧で,考え方も基本的ですが,

あまり見かけない設定なので,難しく感じます.

解答

(1) x=k で切断せよということですね.

平面 x=k による切り口は図のようになる.
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x=k で切断した球の半径は \sqrt{1-k^{2}},太陽光線は仰角 \dfrac{\pi}{6} なので,

光の当たらない y の範囲は,

    \sqrt{1-k^{2}}≦k≦2\sqrt{1-k^{2}}

(2) (1)と図から光が当たらない部分の長さが \sqrt{1-k^{2}} なので,これを k:-1\rightarrow 1積分したものが,求める面積.これは半径1の半円の面積なので,

    \displaystyle\int_{-1}^{1} \sqrt{1-k^{2}}dk= \dfrac{\pi}{2}

半径1の半円の面積を考えた.

(3) x=k で切断したとき,光の当たらない部分は図の斜線部分で,

    \begin{align}
S(k)&=\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{1-k^{2}}\cdot\sqrt{3(1-k^2)}-\dfrac{1}{2}(1-k^2)\cdot\dfrac{\pi}{3}\\
&=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\pi}{6}\right)(1-k^{2})
\end{align}
よって,求める体積は

    \begin{align}
\int_{-1}^{1}S(k)dk&=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\pi}{6}\right)\cdot 2\int_{0}^{1}(1-k^{2})dk\\
&=\left(\sqrt{3}-\dfrac{\pi}{3}\right)\left[k-\dfrac{k^{3}}{3}\right]_{0}^{1}\\
&=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}-\dfrac{2}{9}\pi
\end{align}