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2015年 北海道大 積分漸化式,積分方程式 〜北大の数学〜

2015年 北海道大 理系

n自然数aa>\dfrac{3}{2} をみたす実数とし,実数 x の関数

f(x)=\displaystyle\int_0^x(x-θ)(a\sin^{n+1}θ-\sin^{n-1}θ)d\theta

を考える.ただし,n=1 のときは \sin^{n-1}\theta=1 とする.
(1) \displaystyle\int_0^{\dfrac{π}{2}}\sin^{n+1}\theta d\theta=\frac{n}{n+1}\int_0^{\frac{π}{2}}\sin^{n-1}\theta d\theta を示せ.
(2) f'\left(\dfrac{π}{2}\right)=0 をみたす na の値を求めよ.
(3) (2)で求めた na に対して,f\left(\dfrac{π}{2}\right) を求めよ.

解答

(1)
   
\begin{align}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n+1}\theta d\theta&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}\theta\cdot(-\cos\theta)'d\theta\\
&={\Large[}-\cos\theta\sin^{n}\theta{\Large]}_{0}^{\frac{\pi}{2}}\\
 &   +\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(n)\sin^{n-1}\theta(1-\sin^{2}\theta)d\theta\\
&=n\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-1}\theta-n\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}\theta d\theta
\end{align}

よって

   \displaystyle\int_0^{\dfrac{π}{2}}\sin^{n+1}\theta d\theta=\frac{n}{n+1}\int_0^{\frac{π}{2}}\sin^{n-1}\theta d\theta

となる.


(2)
   \displaystyle f(x)=x \int_{0}^{x} (a \sin^{n+1}\theta-\sin^{n-1}\theta)d\theta
     -\displaystyle\int_{0}^{x}\theta(a\sin^{n+1}\theta-\sin^{n-1}\theta)d\theta

   \begin{align}
f'(x)&=\int_{0}^{x} (a \sin^{n+1}\theta-\sin^{n-1}\theta)d\theta\\
&   +x(a\sin^{n+1}x-\sin^{n-1}x)\\
&   -x(a\sin^{n+1}x-\sin^{n-1}x)\\
&= \int_{0}^{x}(a\sin^{n+1}\theta-\sin^{n-1}\theta)d\theta \cdots①
\end{align}

   \begin{align}
 f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)&=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} (a \sin^{n+1}\theta-\sin^{n-1}
\theta)d\theta\\
&=a \cdot\dfrac{n}{n+1}I_{n-1}-1I_{n-1}\\
&=\left(a \cdot\dfrac{n}{n+1}-1\right)I_{n-1}
\end{align}

\sin^{n-1}\theta\geqq 0 より,I_{n-1}>0 なので,

f'\left( \dfrac{\pi}{2}\right)=0 となるのは,

   a \cdot\dfrac{n}{n+1}-1=0

   a=1+ \dfrac{1}{n}\cdots②

a> \dfrac{3}{2}=1+\dfrac{1}{2} より,n<2

n自然数なので,n=1. また,②に代入して a=2

(3)
n=1,\ a=2 を①に代入すると

   \begin{align}
 f'(x)&= \int_{0}^{x}(2\sin^{2}\theta-1)d\theta\\
&=\int_{0}^{x}(-\cos 2\theta)d\theta\\
&=\left[-\dfrac{1}{2}\sin 2\theta\right]_{0}^{x}\\
&=-\dfrac{1}{2}\sin 2x
\end{align}

f(0)=0となる,f(x)

   f(x)= \dfrac{1}{4}\cos 2x-\dfrac{1}{4}

   f\left( \dfrac{\pi}{2}\right)=-\dfrac{1}{2}