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Math Lab

数学に思考力,発想力なんかいらない!

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数学に思考力,発想力なんかいらない!!!
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2015年 大阪大 不等式証明と数列の極限 〜阪大の数学〜

2015年 大阪大 理系

自然数 n に対して関数 f_{n}(x)
   f_{n}(x)=\dfrac{x}{n(1 + x)}\log \left(1 + \dfrac{x}{n}\right) \ \ (x ≧ 0)
で定める.以下の問いに答えよ.
(1) \displaystyle \int_0^n f_{n}(x) dx ≦ \displaystyle \int_{0}^1 \log(1 + x) dx を示せ.
(2) 数列 \{I_{n}\}I_{n} =\displaystyle \int_0^n fn(x) dx で定める.0≦x≦1 のとき \log(1+x) ≦\log 2 であることを用いて数列 \{I_{n}\} が収束することを示し,その極限値を求めよ.ただし,\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{\log x}{x}= 0 であることは用いてよい.

思考力,発想力なんかいらない!

(1)右辺を作るためには,と思えば置換が思いつくでしょう.

(2)は難しい.ハサミウチを使うのも,何に収束するのかも問題からわかるのですが,誘導がないので自力でやらねば...

解答

(1) 不等式の右辺が \log(1+x) ですから,これを目標に

 \dfrac{x}{n}=t とおく.dx=ndt , x:0\rightarrow nt:\rightarrow 1

   
\begin{align}
\displaystyle\int_{0}^{n}f_{n}(x)dx&=\int_{0}^{1}\dfrac{nt}{n(1+nt)}\log(1+t)\cdot ndt\\
&=\int_{0}^{1}\dfrac{nt}{1+nt}\log(1+t)dt \cdots①
\end{align}

ここで 0\leqq t\leqq 1 において

\dfrac{nt}{1+nt}\leqq 1,\ \log(1+t)\geqq 0 となるので,

   
\begin{align}
\displaystyle\int_{0}^{n}f_{n}(x)dx&=\int_{0}^{1}\dfrac{nt}{1+nt}\log(1+t)dt\\
&\leqq\int_{0}^{1}\log(1+t)dt\\
&=\int_{0}^{1}\log(1+x)dx
\end{align}

となり,与式が成り立つ.

(2) ハサミウチの原理ですが,左半分がないです...

\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}I_n=\int_0^1 \log(1+x)dx になるでしょうから,これを目標に.

 J_{n}=\displaystyle \int_{0}^{1}\log(1+x)dx-I_n とおく

(1)から J_{n}\geqq 0 である.そして①により

   
\begin{align}
J_{n}&= \int_{0}^{1}\log(1+t)dt-\int_{0}^{1}\dfrac{nt}{1+nt}\log(1+t)dt\\
&=\int_{0}^{1}\left(1-\dfrac{nt}{1+nt}\right)\log(1+t)dt\\
&=\int_{0}^{1}\dfrac{1}{1+nt}\log(1+t)dt
\end{align}

ここで \log(1+t)\leqq\log 2\ \ (0\leqq t\leqq 1) だから

   
\begin{align}
J_{n} &\leqq(\log 2)\int_{0}^{1}\dfrac{1}{1+nt}dt\\
&=(\log 2)\left[\dfrac{1}{n}\log(1+nt)\right]_{0}^{1}
\end{align}

よって,

   0\leqq J_{n}\leqq(\log 2)\dfrac{\log(1+n)}{n}

が成り立つ.

n\rightarrow0

( \log 2)\dfrac{\log(1+n)}{n}=(\log 2)\dfrac{\log(1+n)}{1+n}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\rightarrow 0


はさみうちの原理より, \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}J_{n}=0

よって,\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}I_{n}= \int_0^1 \log(1+x)dx

   
\begin{align}
 \int_0^1 \log(1+x)dx&= \int_{0}^{1}(1+x)'\log(1+x)dx\\
&={\Large[}(1+x)\log(1+x){\Large]}_0^1-{\Large[}x {\Large]}_0^1 \\
&=2\log 2-1
\end{align}