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Math Lab

数学に思考力,発想力なんかいらない!

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数学に思考力,発想力なんかいらない!!!
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2015年 東工大 数列の極限 〜東工大の数学〜

2015年 東工大

数列 \{a_{n}\} を,
   a_{1}=5 , \ a_{n+1}=\displaystyle \frac{4a_{n}-9}{a_{n}-2} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
で定める.また,数列 \{b_{n}\} を,
   b_{n}=\displaystyle \frac{a_{1}+2a_{2}+\cdot\cdot\cdot+na_{n}}{1+2+\cdots+n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
と定める.

(1) 数列 \{a_{n}\} の一般項を求めよ.
(2) すべての n に対して,不等式 b_{n}\displaystyle \leqq 3+\frac{4}{n+1} が成り立つことを示せ.
(3) 極限値 \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n} を求めよ.

思考力,発想力なんかいらない!

求めにくい極限はハサミウチ.

方針は立つのですが,手数が多い.


演習に最適です.

解答

(1) 推測させるときが多いですが,誘導がない.

a_{1}=5,\ \dfrac{11}{3}, \dfrac{17}{5} より

   a_{n}= \dfrac{6n-1}{2n-2}

と推測.数学的帰納法で示す.

(i) n=1 のとき,a_{1}=\dfrac{6\cdot -1}{2\cdot 1-1}=5 で成立.

(ii) n=k のとき成り立つと仮定する,

   \begin{align}
a_{k+1}&= \dfrac{4\cdot\dfrac{6k-1}{2k-1}-9}{\dfrac{6k-1}{2k-1}-2}\\
&=\dfrac{4(6k-1)-9(2k-1)}{6k-1-2(2k-1)}\\
&=\dfrac{6k+5}{2k+1}=\dfrac{6(k+1)-1}{2(k+1)-1}
\end{align}

だから n=k+1 のときも成り立つ.よって,示された.

(2)式変形で作るのは難しい.帰納法でしょうか.

   b_{n}= \dfrac{a_{1}+2a_{2}+\cdots+na_{n}}{1+2++n}\leqq 3+\dfrac{4}{n+1}\cdots①

数学的帰納法で示す.

n=1 のとき,b_{1}=a_{1}=5 , 3+ \dfrac{4}{1+1}=5 だから成立.

n=k のときに①が成り立つと仮定する.

★分母は払った方が処理しやすいでしょう.

   \begin{align}
&a_{1}+2a_{2}+\cdots+ka_{k}\\
&\leqq\dfrac{1}{2}k(k+1)\left(3+\dfrac{4}{k+1}\right)\\
&=\dfrac{3}{2}k(k+1)+2k
\end{align}

次の式,

   \begin{align}
&a_{1}+2a_{2}+\cdots+ka_{k}+(k+1)a_{k+1}\\
&≦\dfrac{3}{2}(k+1)(k+2)+2(k+1)\cdots③
\end{align}

が成り立つことを示す.

仮定と(1)から,

   \begin{align}
&a_{1}+2a_{2}+\cdots+(k+1)a_{k+1}\\
&\leqq\dfrac{3}{2}k(k+1)+2k+(k+1)\cdot\dfrac{6k+5}{2k+1} \cdots④
\end{align}


★式変形で目標の不等式は作れそうにないので...

   \begin{align}
& \dfrac{3}{2}(k+1)(k+2)+2(k+1)\\
&   -\left(\dfrac{3}{2}k(k+1)+2k+(k+1)\cdot\dfrac{6k+5}{2k+1}\right)\\
&=\dfrac{3}{2}(k+1)\{(k+2)-k\}+2-(k+1)\cdot\dfrac{6k+5}{2k+1}\\
&=3(k+1)+2-(k+1)\left(3+\dfrac{2}{2k+1}\right)\\
&=\dfrac{2k}{2k+1}>0
\end{align}

となり,③\leqq④ を示された.

よって,n=k+1 のとき

   \begin{align}
&a_{1}+2a_{2}+\cdots+ka_{k}+(k+1)a_{k+1}\\
&≦\dfrac{3}{2}(k+1)(k+2)+2(k+1)
\end{align}

が成り立つので①は示された.


(3) 不等式を作ってハサミウチです.

a_{n}=3+ \dfrac{2}{2n-1}\geqq 3 だから,

   b_{n} \geqq\dfrac{1\cdot 3+2\cdot 3+\cdots+n\cdot 3}{1+2+\cdots+n}=3

となり,(2)より
3\leqq b_{n}\leqq 3+\dfrac{4}{n+1} となり, n\rightarrow\infty で 3+\dfrac{4}{n+1}\rightarrow 3 だから,

はさみうちの原理より,

   \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}=3