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Math Lab

数学に思考力,発想力なんかいらない!

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2010年 名古屋大 確率漸化式 〜名大の数学〜

2010年 名古屋大

はじめに,A が赤玉を1個,B が白玉を1個,C が青玉を1個持っている.表裏の出る確率がそれぞれ \displaystyle \dfrac{1}{2} の硬貨を投げ,表が出れば A と B の玉を交換し,裏が出れば B と C の玉を交換する,という操作を考える.この操作を n(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) くり返した後に A, B, C が赤玉を持っている確率をそれぞれ a_{n} ,  b_{n} , \ c_{n} とおく.
(1) a_{1} , \ b_{1} , \ c_{1} , \ a_{2} , \ b_{2} , \ c_{2} を求めよ.
(2) a_{n+1} , \ b_{n+1} , \ c_{n+1}a_{n} , \ b_{n} , \ c_{n} で表せ.
(3) a_{n} , \ b_{n} , \ c_{n} を求めよ.

解答

(1) まずは実験です.
   a_{1}= \dfrac{1}{2} , b_{1}= \dfrac{1}{2} , c_{1}=0

   a_{2}= \dfrac{1}{2} , b_{2}= \dfrac{1}{4} , c_{2}= \dfrac{1}{4}

(2) 漸化式を立てますが,設定してくれています.

(ア) n+1 回後に A が赤玉を持っているのは,

(i) n 回後に A が持っていて裏が出るとき
(ii) n 回後に B が持っていて表が出るとき

   a_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_{n}+\dfrac{1}{2}b_{n} \cdots①

(イ) n+1 回後に B が赤玉を持っているのは,

(i) n 回後に A が持っていて表が出るとき
(ii) n 回後に C が持っていて裏が出るとき

   b_{n+1}= \dfrac{1}{2}a_{n}+\dfrac{1}{2}c_{n} \cdots②

(ウ) n+1 回後に C が赤玉を持っているのは,

(i) n 回後に B が持っていて裏が出るとき
(ii) n 回後に C が持っていて表が出るとき

   c_{n+1}= \dfrac{1}{2}b_{n}+\dfrac{1}{2}c_{n} \cdots③

(3) ★解けるものから解いていきましょう.

a_{n}+b_{n}+c_{n}=1 より,a_{n}+c_{n}=1-b_{n} である.

よって,②から,

   b_{n+1}= \dfrac{1}{2}(1-b_{n})

   b_{n+1}- \dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{2}\left(b_{n}-\dfrac{1}{3}\right)

   
\begin{align}
b_{n}-\dfrac{1}{3}&=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\left(b_{1}-\dfrac{1}{3}\right)\\
&=\dfrac{1}{6}\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}
\end{align}

   
\begin{align}
b_{n}&=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\\
&=\dfrac{1}{3}\left\{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^
{n}\right\}
\end{align}

よって,

   
\begin{align}
a_{n}+c_{n}&=1-b_{n}\\
&= \dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n}\cdots④
\end{align}

連立漸化式は足すか引くかが基本です.

また,①-③ より

   a_{n+1}-c_{n+1}= \dfrac{1}{2}(a_{n}-c_{n})

であるので,

   
\begin{align}
a_{n}-c_{n}&=\left( \dfrac{1}{2}\right)^{n-1}(a_{1}-c_{1})\\
&=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\cdots⑤
\end{align}

\dfrac{④+⑤}{2} から

   a_{n}= \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}

 \dfrac{④-⑤}{2} から

   c_{n}= \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n}-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}