Math Lab

数学にセンスはいらない。

2008年 京都大 非回転体の体積 円柱の切断 〜京大の数学〜

2008年 京都大 理系

次の式で与えられる底面の半径が2 ,高さが1の円柱 C を考える.

   C = \{(x,\ y,\ z)|x^2+y^2 ≦4,\ 0≦z≦1\}

xy 平面上の直線 y=1 を含み,xy 平面と 45° の角をなす平面のうち,点 (0,\ 2,\ 1) を通るものを H とする.円柱 C を平面 H で二つに分けるとき,点 (0,\ 2,\ 0)を含む方の体積を求めよ. 

思考力,発想力なんかいらない!

非回転体は考えやすい平面で切って,断面図を考えます.

y 軸に垂直(xz 平面)に切ると,断面は長方形ですから,これが一番わかりやすいでしょうか.


それでは解いて行きましょう.

解答

題意を満たす,立体 C は図のようになる.

f:id:mathchem:20170312170414p:plain:w300

y=t で切断すると,断面は図のようになる.図のように点を定め,

f:id:mathchem:20170312170424p:plain:w300

必要な長さを求める

C の底面は円 x^{2}+y^{2}=4 であるので,

PQ の長さは 2\sqrt{4-t^{2}}

必要な長さを求めるために,複数の平面で切断する

また,x =0yz 平面で切断すると,図のようになり,

f:id:mathchem:20170312170435p:plain:w300

y=t になる z 座標がQRに等しく, t-1

よって,断面積は 2 (t-1)\sqrt{4-t^{2}}

従って,求める体積 V は,

   
\begin{align}
V&=\int_{1}^{2}2(t-1)\sqrt{4-t^{2}}dt\\
&=\underline{\int_{1}^{2}(t^{2})'\sqrt{4-t^{2}}dt}_{①}-2\underline{\int_{1}^{2}\sqrt{4-
t^{2}}dt}_{②}
\end{align}


   
\begin{align}
①&=\left[- \frac{2}{3}(4-t^{2})^{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{2}\\
&=2\sqrt{3}
\end{align}

②は半径2の円の面積を考え,60°の扇型から底辺1,高さ\dfrac{\sqrt 3}{2}直角三角形の部分の面積を除いたものなので,

   
\begin{align}
②&=\frac{1}{2}\cdot 2^{2}\cdot\frac{\pi}{3}-\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2\sin\frac{\pi}{3}\\
&=\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{align}

より,

   
\begin{align}
V&=2\sqrt{3}-2\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\
&=3\sqrt{3}-\frac{4\pi}{3}
\end{align}

別解

x=tで切った断面は直角二等辺三角形になります.
これでも求めることができるか確認すると良い練習になります.