Math Lab

数学にセンスはいらない。

2012年 一橋大 確率漸化式 〜一橋大の数学〜

2012年 一橋大 (2)期待値の問題削除

最初に1の目が上面にあるようにサイコロが置かれている.その後,4つの側面から1つの面を無作為に選び,その面が上面になるように置き直す操作を n 回繰り返す.なお,サイコロの向かい合う面の目の数の和は7である.最後に1の目が上面にある確率を求めよ.

思考力,発想力なんかいらない!

繰り返しの操作なので,漸化式が作れないか,と考えます.

確率漸化式の解き方
mathchem.hatenablog.com


それでは解いていきましょう.

(1) ★n 回目の状態を全て考えます.できるだけまとめて.

n 回後に上面が1である確率を p_{n} , 2〜 5 のいずれかである確率を q_{n}, 6である確率を r_{n}とする.

   p_{n}+q_{n}+r_{n}=1\cdots①

★漸化式を作っていきます.

(i)n+1 回後に1が上面になるのは,

n 回後に2〜5の面が上面で,\dfrac{1}{4} の確率で p_{n+1} になる.

(ii) 6が上面になるのも同様で,

   p_{n+1}=q_{n} \cdot\dfrac{1}{4}\cdots②
   r_{n+1}=q_{n}\cdot\dfrac{1}{4}\cdots③

★連立漸化式は足すか引くか,が基本です.
②+③より,
   p_{n+1}+r_{n+1}= \dfrac{1}{2}q_{n}

①から,
   1-q_{n+1}= \dfrac{1}{2}q_{n}

   q_{n+1}-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{1}{2}\left(q_{n}-\dfrac{2}{3}\right)

   q_{n}=\dfrac{2}{3}+\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n}\left(q_{0}-\dfrac{2}{3}\right)

q_{0}=0 であるから,

   q_{n}=\dfrac{2}{3}\left\{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n}\right\}

②より

   p_{n+1}= \dfrac{1}{6}\left\{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n}\right\}

   p_{n}= \dfrac{1}{6}\left\{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\right\}