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2012年 東工大 数列の極限 ハサミウチの原理 〜東工大の数学〜

2012年 東工大 第4問

n を正の整数とする.数列 \{a_{k}\}

a_{1}=\dfrac{1}{n(n+1)},\ a_{k+1}=-\dfrac{1}{k+n+1}+\dfrac{n}{k}\displaystyle\sum_{i=1}^{k}a_{i} \ (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)

によって定める.

(1) a_{2} および a_{3} を求めよ.

(2) 一般項 a_{k} を求めよ.

(3) b_{n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\sqrt{a_{k}} とおくとき,\displaystyle \lim_{n\rightarrow ∞}b_{n}=\log 2 を示せ.


(1) 推測しろということですね.丁寧に.
   
\begin{align}
a_{2}&=- \dfrac{1}{n+2}+na_{1}\\
&=-\dfrac{1}{n+2}+n\cdot\dfrac{1}{n(n+1)}\\
&=-\dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{n+1}\\
&=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}
\end{align}

   
\begin{align}
a_{3}&=-\dfrac{1}{n+3}+\dfrac{n}{2}(a_{1}+a_{2})\\
&=- \dfrac{1}{n+3}+\dfrac{n}{2}\left\{\dfrac{1}{n(n+1)}+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\right\}\\
&=- \dfrac{1}{n+3}+\dfrac{n}{2}\left\{\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)+\left(\dfrac{1}{n+1}-
\dfrac{1}{n+2}\right)\right\} \\
&=- \dfrac{1}{n+3}+\dfrac{n}{2}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2}\right)\\
&=- \dfrac{1}{n+3}+\dfrac{1}{n+2}\\
&=\dfrac{1}{(n+2)(n+3)}
\end{align}

(2) 帰納法ですね.

(1)より,a_{k}= \dfrac{1}{(n+k-1)(n+k)}\cdots①と推測.

(i) k=1 のとき,①は成り立つ.

(ii) k\leqq m のとき①が成り立つとすると,
★シグマがあるので,k=m のときだけでは不十分です.全部成り立つと仮定しなければ,和がとれません.

   
\begin{align}
a_{m+1}&=-\dfrac{1}{n+m+1}+\dfrac{n}{m}\sum_{i=1}^{m}a_{i}\\
&=-\dfrac{1}{n+m+1}+\dfrac{n}{m}\sum_{i=1}^{m}\dfrac{1}{(n+i-1)(n+i)}\\
&=-\dfrac{1}{n+m+1}+\dfrac{n}{m}\sum_{i=1}^{m}\left(\dfrac{1}{n+i-1}-\dfrac{1}{n+i}\right)\\
&=-\dfrac{1}{n+m+1}+\dfrac{n}{m}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+m}\right)\\
&=-\dfrac{1}{n+m+1}+\dfrac{1}{n+m}\\
&=\dfrac{1}{(n+m)(n+m+1)}
\end{align}

となり,k=m+1 のときも①が成り立つ.
よって,数学的帰納法により,すべての正の整数 k に対して,①が成り立つ.


(3) 直接は求めるのは厳しいのでハサミウチ,なんですが不等式がない...
不等式は自分で作れ,ということか...

(2)から\dfrac{1}{(n+k)^{2}}\lt a_{k}\lt \dfrac{1}{(n+k-1)^{2}} とし,

   \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n+k}\lt\sum_{k=1}^{n}\sqrt{a_{k}}\lt\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n+k-1}

   \displaystyle\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{1+\dfrac{k}{n}}\lt b_{n}\lt\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{1+\dfrac{k-1}{n}}

n\rightarrow\infty とすると,上式の左辺,右辺はともに

   
\begin{align}
\int_{1}^{1} \dfrac{1}{1+x}dx&={\Large[}\log|1+x|{\Large]}_{0}^{1}\\
&=\log 2
\end{align}

に収束し,はさみうちの原理により,

\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} b_{n}=\log 2 が成り立つ.