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Math Lab

数学に思考力,発想力なんかいらない!

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数学に思考力,発想力なんかいらない!!!
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2012年 北海道大 確率・反復試行 〜北大の数学〜

2012年 北海道大

A と B の2 チームが試合を行い,どちらかが先に k 勝するまで試合をくり返す.各試合で A が勝つ確率を p , B が勝つ確率を q とし,p+q=1 とする.A が B より先に k 勝する確率を P_{k} とおく.
(1) P_{2}pq で表せ.
(2) P_{3}pq で表せ.
(3) P_{4}pq で表せ.
(4) \displaystyle \dfrac{1}{2}\lt q\lt 1 のとき,P_{4}\lt P_{3} であることを示せ.

思考力,発想力なんかいらない!

反復試行の問題です.Aの「勝ち方」を丁寧に考えましょう.

反復試行の基本はこちら
mathchem.hatenablog.com


それでは解いていきましょう.

解答

Aが勝つのを〇,負けるのを×とする.
(1) Aが勝ち方は,〇〇, ×〇〇, 〇×〇 なので

    P_{2}=p^{2}+qp^{2}+pqp=p^{2}+2p^{2}q

(2) Aの勝ち方は,最後は〇に注意して,

(i) 3連勝のとき p^3

(ii)3勝1敗のとき,何試合目に負けるかも考慮すると,3通り( {}_{3}\mathrm{C}_1 )あるので, 3p^{3}q

(iii)3勝2敗のとき,何試合目に負けるかを考慮すると,6通り( {}_{4}\mathrm{C}_2 )あるので,6p^3q^2

(i)〜(iii)合わせて,P_{3}=p^{3}+3p^{3}q+6p^{3}q^{2}

(3) 2と同様にAの勝ち方を考えると
(i)4連勝
(ii)4勝1敗
(iii)4勝2敗
(iV)4勝3敗
のときである.それぞれの勝ち方を求め,合わせると

   P_{4}=p^{4}+4p^{4}q+10p^{4}q^{2}+20p^{4}q^{3}

(4) P_3-P_4 \gt 0 を示す.

(2), (3)から
   
\begin{align}
P_3-P_4&=p^{3}(1+3q+6q^{2})-(p^{4}+4p^{4}q+10p^{4}q^{2}+20p^{4}q^{3})\\
&=p^3\{(1+3q+6q^{2})-p(1+4q+10q^{2}+20q^{3})\}\\
&=p^3\{(1+3q+6q^{2})-(1-q)(1+4q+10q^{2}+20q^{3})\}\\
&=p^3(20q^4-10q^3)\\
&=10p^3(2q-1)>0
\end{align}

   ∵ p\gt 0,\ \dfrac{1}{2}\lt q \lt 1

よって,P_4\lt P_3