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数学に思考力,発想力なんかいらない!

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数学に思考力,発想力なんかいらない!!!
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2012年 東京大 最大・最小値問題 〜東大の数学〜

2012年 東京大 文系

実数 t0\lt t\lt 1 を満たすとし,座標平面上の4点 \mathrm{O}(0,\ 0) , \mathrm{A}(0,\ 1) , \mathrm{B}(1,\ 0) , \mathrm{C}(t,\ 0) を考える.また線分 \mathrm{A}\mathrm{B} 上の点 \mathrm{D}\angle \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{O}=\angle \mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D} となるように定める.t を動かしたときの三角形 \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D} の面積の最大値を求めよ.

思考力,発想力なんかいらない!

  • 誘導はないものの,必要なものをすべて出すだけです.
  • 最大最小値の求め方は

mathchem.hatenablog.com
で確認を.


それでは解いていきましょう.

解答

f:id:mathchem:20170311173806p:plain:w300:right
AC の傾きが \dfrac{-1}{t} なので,CD の傾きは \dfrac{1}{t}

となり,直線CD の式は

y= \dfrac{1}{t}(x-t)

これと 直線y=1-x を連立すると,D の x 座標は

   \dfrac{1}{t}(x-t)=1-x

   ∴ x= \dfrac{2t}{1+t}

直線CEが x 軸と平行な直線となるように点Eをとると,

   
\begin{align}
\triangle \mathrm{ACD}&=\triangle \mathrm{ACE}+\triangle \mathrm{DCE}\\ 
&= \dfrac{1}{2}(1-t)\cdot\dfrac{2t}{1+t}\\
&=\dfrac{t(1-t)}{1+t}=2-t-\dfrac{2}{t+1} 
\end{align}

★理系なら微分で,文系なら逆数の関係を作り出して相加相乗平均の関係を用います.
分子の次数下げをして,相加相乗平均の関係が使えるようにします.


1+t=u とおき,(1\lt u\lt 2)

   
\begin{align}
 \triangle \mathrm{ACD}&=\dfrac{(u-1)(2-u)}{u}\\
&=3-\left(u+\dfrac{2}{u}\right)
\end{align}

相加・相乗平均の関係より,

   u+\dfrac{2}{u}\geqq 2\sqrt{u\cdot\dfrac{2}{u}}=2\sqrt{2}

等号は u= \dfrac{2}{u},つまり u=\sqrt{2} (これは,1\lt u\lt 2 を満たす) のとき成り立つから,u+\dfrac{2}{u} の最小値は 2\sqrt{2}

よって,\triangle\mathrm{ACD} の最大値は 3-2\sqrt{2}