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Math Lab

数学に思考力,発想力なんかいらない!

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数学に思考力,発想力なんかいらない!!!
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2012年 名古屋大 二項定理と数学的帰納法 〜名大の数学〜

2012年 名古屋大

m,\ p を3以上の奇数とし,mp で割り切れないとする.
(1) (x-1)^{101} の展開式における x^{2} の項の係数を求めよ.
(2) (p-1)^{m}+1p で割り切れることを示せ.
(3) (p-1)^{m}+1p^{2} で割り切れないことを示せ.
(4) r を正の整数とし,s=3^{r-1}m とする.2^{s}+1 は3^{r} で割り切れることを示せ.

思考力,発想力はいらない

(1)〜(3)までは頑張りたい.(4)は方針立てて途中までは.

(1)展開式の係数は二項定理,です.

(2), (3) 二項定理を使え,ということでしょう.展開してみましょう.

(4) 文字が多くて,処理がしにくいです.式処理もきつい...ただ,r自然数とあるので帰納法が使えそう? これは難しい.

解答

(1) 二項定理より,{}_{101}\mathrm{C}_{2}(-1)^{99}=-5050
(2) 割り切れるってことなので,展開した各項すべてが割り切れることを示す.
二項定理より,

   (p-1)^{m} =p^{m}+{}_{m}\mathrm{C}_{1}p^{m-1}(-1)+\cdots+{}_{m}\mathrm{C}_{m-1}p(-1)^{m-1}+(-1)^{m}

m は奇数なので (-1)^{m}=-1 であるから,

   (p-1)^{m}+1=p^{m}+_{m}\mathrm{C}_{1}p^{m-1}(-1)+\cdots+{}_{m}\mathrm{C}_{m-1}p(-1)^{m-1}\cdots①

各項が p で割り切れるので,(p-1)^{m}p で割り切れる.

(3) 割り切れないってことは...割り切れないもの項を探しましょう.

①の最後の項,{}_m\mathrm{C}_{m-1}p(-1)^{m-1}=mp

p^{2} で割り切れない.一方,これ以外の①の項はどれも p^2 で割り切れるので,①は p^2で割り切れない.

(4) 自然数に関する証明は帰納法!で手が動けば十分.自然数 r とあるので,帰納法が浮かびます.

数学的帰納法により証明する.

(i) r=1 のとき s=m であり,2^{s}+1=(3-1)^{m}+1 であるから,(2) で p=3 とすることにより,これは 3=3^{1} で割り切れる.

★どこまで仮定するか

(ii) r=k のときに成り立つこと,つまり,l=3^{k-1}m が成り立つ,つまり,2l+13^{k} で割り切れることを仮定する.

★目標:r=k+1 のとき s=3^{k}m=3l なので,2^{3l}+13^{k+1} で割り切れることを示す.

★★仮定が使いたいので...

   
\begin{align}
2^{3l}+1&=(2^{l}+1)(2^{2l}-2^l+1)\\
&=(2^{l}+1)\{(2^{l}+1)^{2}-3\cdot 2^l \}\cdots②
\end{align}

であり,帰納法の仮定より 2^l+13^{k} で割り切れ,2^l+1 は3で割り切れるから, (2^{l}+1)^{2}-3\cdot 2^{k} も3で割り切れる.以上から,②つまり 2^{3l}+1 は 3^{k}\cdot 3=3^{k+1} で割り切れる.
よって,示された.