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Math Lab

数学に思考力,発想力なんかいらない!

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数学に思考力,発想力なんかいらない!!!
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2012年 名古屋大 確率・出る目の最大値・最小値 〜名大の数学〜

2012年 名古屋大

 n を2以上の整数とする.1から n までの整数が1つずつ書かれている n 枚のカードがある.ただし,異なるカードには異なる整数が書かれているものとする.この n 枚のカードから,1枚のカードを無作為に取り出して,書かれた整数を調べてからもとに戻す.この試行を3回繰り返し,取り出したカードに書かれた整数の最小値を X , 最大値を Y とする.次の間に答えよ.ただし,jk は正の整数で,j+k\leqq n を満たすとする.また,sn-1 以下の正の整数とする.

(1) X\geqq j かつ Y\leqq j+k となる確率を求めよ.
(2) X=j かつ Y=j+k となる確率を求めよ.
(3) Y-X=s となる確率を P(s) とする.P(s) を求めよ.
(4) n が偶数のとき,P(s) を最大にする s を求めよ.

思考力,発想力なんかいらない!

(2) 出る目の最大値・最小値問題です.調べ上げ,でも解けますが,言い換えもできるようにしておきたい.

基本の考え方は,
mathchem.hatenablog.com
です.



本問いは文字が多いですが惑わされないように.



それでは解いていきましょう.

解答

(1) 3回とも j,\ j+1,\ i+kk+1 通りのいずれかなので,
求める確率は \dfrac{(k+1)^{3}}{n^{3}} である.

(2) ★言い換えましょう.
最小値が  j で最大値が j+k は,

「3回とも j〜j+k のカードが出てかつ,少なくともj,j+k のカードを一枚ずつ引く.」

f:id:mathchem:20170311154146p:plain:w300

(3回とも j+1〜j+k) + (3回とも j〜j+k-1)-(3 回とも j+1〜j+k-1)


\left(\dfrac{k+1}{n}\right)^3+\left(\dfrac{k-1}{n}\right)^3-\left(\dfrac{k}{n}\right)^3
=\dfrac{6k}{n^3}


(3) (2)から,X=j かつ Y=j+s になる確率は \dfrac{6s}{n^3}

1≦j≦n-s より,

求める確率は P(s)=\dfrac{6s}{n^3}(n-s)

(4) (3)から,

   P(s)= \dfrac{6}{n^{3}}\left\{-\left(c-\dfrac{n}{2}\right)^{2}+\dfrac{n^{2}}{4}\right\}

となり, n が偶数であることから,s= \dfrac{n}{2} で最大である.