Math Lab

数学にセンスはいらない。

確率の基本〜反復試行〜

反復試行

A チームと B チームが続けて野球の試合を行い,先に4勝した方が優勝するという.それぞれのチームの勝つ確率は \dfrac{1}{2} で,引き分けはないものとする.
(1)Aチームが4戦目で優勝する確率を求めよ.
(2)5戦目で優勝する確率する確率を求めよ.
(3)6戦目で優勝する確率, 7戦目で優勝する確率するをそれぞれ求めよ.

解答

(1) Aが4連勝する場合だから \left(\frac{1}{2}\right)^4=\dfrac{1}{16}
(2) 4戦目を終えて A の3勝1敗となり,5戦目に A が勝つ場合である.
優勝のパターンは, {}_{4}\mathrm{C}_{1} 通りあるので
求める確率は,

   {}_{4}\mathrm{C}_{1}\times\dfrac{1}{2^{5}}=\dfrac{4}{2^{5}}=\dfrac{1}{8}

★単に,\left(\dfrac{1}{2}\right)^5 とすると間違いです.これが表わすのは,ある一通りの優勝の仕方(例:〇〇〇×〇)しか求まっていません.これ以外にも優勝の仕方が複数あるので,確率はもっと高まるはずです.

(3)まず,6戦目で優勝する場合.

5戦目を終えて A の3勝2敗となり,6戦目に A が勝つ場合なので,

優勝パターンは {}_{5}C_{2} 通りあることを考慮して

   {}_{5}\mathrm{C}_{2}\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{6}=\dfrac{5}{2^{5}}=\dfrac{5}{32}

同様に7戦目で優勝する場合.

優勝のパターンは {}_{6}\mathrm{C}_{3} 通りだから

   {}_{6}\mathrm{C}_{3}\times\dfrac{1}{2^{7}}=\dfrac{6\cdot 5\cdot 4}{3\cdot 2}\times\dfrac{1}{2^{7}}=\dfrac{5}{2^{5}}=\dfrac{5}{32}