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確率の基本〜分かりやすく言い換える〜

確率の基本〜分かりやすく言い換える〜

確率の問題では,そのまま直接求めようとすると場合分けが多くなってしまう問題も,言い換えによって場合分けを避けることができる問題が少なくありません.

確率を考えるときは,「言い換え」を意識してみると楽ができます.


例題1

1個のサイコロを3回続けて投げる.1回目に出た目を a , 2回目に出た目を b , 3回目に出た目を c とするとき,a\lt b\lt c となる確率を求めよ.

考え方

サイコロなので,樹系図で全部調べることができるのですが,面倒です...

簡単になるよう言い換えができないか考えます.

解答

目の出方は全部で 6^{3} 通りある.

a\lt b\lt c となる出方は,1〜6の中から異なる3つの数を選んで小さい順に並べた場合の数と同じである.

この場合の数は {}_{6}\mathrm{C}_{3}\times 1 通り.

よって求める確率は

   \dfrac{{}_{6}\mathrm{C}_{3}}{6^{3}}=\dfrac{6\cdot5\cdot 4}{6^{3}\cdot3\cdot 2}=\dfrac{5}{54}

例題2 出る目の最大・最小値問題

3個のさいころを同時に投げるとき,出る目の最小値が3である確率を求めよ.

解答

この問題も例題1と同様,全部調べ上げることができるのですが,面倒です.

次のように言い換えます.

出る目の最小値が3になるのは,

3個のサイコロのうち,

   「全ての目が3以上で少なくとも1個は3である」

少なくともとあるので,余事象を考え,

   「全ての目が3以上から,全ての目が4以上を除いたもの」

といえる.

よって,求める確率は,

\left(\dfrac{4}{6}\right)^{3}-\left(\dfrac{3}{6}\right)^{3}=\dfrac{4^{3}-3^{3}}{6^{3}}=\dfrac{64-27}{216}=
\dfrac{37}{216}