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解けない漸化式の極限とその解き方〜応用編〜

解けない漸化式の極限とその解き方〜応用編〜

解けない漸化式の極限とその解き方〜基本編〜では,誘導に従い与えられたものを使えば極限が求まりました.

しかし,問題によっては自分で不等式を作らねばならない問題もあります.こんなときは平均値の定理が有効です.

これは定石なので是非押さえておきましょう.

a_{n+1}=f(a_n) の極限で不等式を作るときは平均値の定理

平均値の定理についてはリンクで確認を.

それでは例題を通して理解を深めていきましょう.

例題 2014 慶應大・理工/設問削除

a_{1}=0,\ a_{n+1}=\log(a_{n}+e)\ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) で定まる数列 \{a_n\} の収束について調べたい.以下の問いに答えなさい.
(1) 方程式 x=\log(x+e)x\gt0 の範囲でただ1つの実数解 \beta をもつことを証明しなさい.
(2) すべての自然数 n について 0≦a_n\lt\beta が成り立つことを証明しなさい.
(3) すべての自然数 n について β-a_{n+1}\lt \dfrac{1}{e}(β-a_{n}) が成り立つことを証明し,これを用いて \displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty}a_{n}=β を示しなさい.

解答・解説

(1) 実数解の個数はグラフを考えよ!

f(x)=x-\log (x+e) おくと,x\gt0

   f'(x)=1- \dfrac{1}{x+e}\gt0 \ \ (∵x+e\gt0+e\gt2)

f(0)=-\log e=-1であるから,f(x)x\gt 0 で増加関数である.

   f(0)=-\log e=-1,
   f(e)=e-\log 2e\gt2-\log e^{2}=0より,

 x=\log (x+e)x\gt 0 の範囲で

ただ1つの実数解 \beta をもつ.

(2) 数列絡みの不等式証明は帰納法

0≦a_n\lt \beta\cdots➀数学的帰納法で示す.
n=1 のとき,a_1=0 だから➀は成り立つ.
n=k のときに➀が成り立つとする.
➀の両辺にを e 足すと 0+e≦ a_{k}+e\ltβ+e

\log (x+e) は増加関数だから,

   \log(0+e)≦\log(a_{k}+e)\lt\log(β+e)=β

(右辺は (1) を用いた)

    ∴ 1≦a_{k+1}\ltβ

よって,➀は n=k+1 のときも成り立ち,示された.

(3)  a_{n+1} を代入しても上手くいかない...

a_{n+1}=f(a_n) の極限の問題で不等式を作るときは平均値の定理

h(x)=\log(x+e) とおく a_{n+1}=h(a_n) との関係となる.

ここで平均値の定理を用いると 

   \dfrac{h(β)-h(a_n)}{β-a_n}=h'(c)=\dfrac{1}{c+e}

a_n\lt c\ltβ

を満たす実数 c が存在する.上式を変形すると

   
\begin{align}
h(β)-h(a_n)&=\log (β+e)-a_{n+1}\\
β-a_{n+1}&=\dfrac{1}{c+e}(β-a_n)
\end{align}

 ∵ (1)よりβ=\log(β+e)=h(β)   

   ∴ β-a_{n+1}\lt\dfrac{1}{e}(β-a_n) (∵ c+e\gt e )

よって,

   β-a_{n}\lt \dfrac{1}{e}(β-a_{n-1})

と変形でき,これを繰り返し用いると,

   
\begin{align}
β-a_{n}&\lt\dfrac{1}{e}(β-a_{n-1})\\
&\lt\dfrac{1}{e}\cdot\dfrac{1}{e}(β-a_{n-2})\\
&\lt\lt\left(\dfrac{1}{e}\right)^{n}(β-a_{1})
\end{align}

0≦a_n\lt \beta,a_1=0 から

   
\begin{align}
0\lt β-a_{n}&\lt\left(\dfrac{1}{e}\right)^{n}(β-a_{1})\\
&=\left(\dfrac{1}{e}\right)^{n}β
\end{align}

0\lt\left(\dfrac{1}{e}\right)\lt1 より,

n \rightarrow \infty\left(\dfrac{1}{e}\right)^{n}β=0

ハサミウチの原理より,
   ∴ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty}a_{n}=β

   \displaystyle \lim _ {n \rightarrow \infty}a_{n}=1