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数学に思考力,発想力なんかいらない!

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2016年 大阪大 実数解の個数 〜阪大の数学〜

2016年 大阪大 文系 (2)(3)削除

曲線 C: y=\left| \dfrac{1}{2}x^{2}-6\right|-2x を考える.
C と直線 L:y=-x+t が異なる4点で交わるような t の値の範囲を求めよ.

思考力発想力なんかいらない!

グラフの交点なので,まずは連立.
すると方程式が得られます.文字定数は邪魔なので
定数分離して視覚的に処理していきます.

実数解の個数は文字定数分離!

実数解の個数に関する問題はこちらで詳しく解説しています.
mathchem.hatenablog.com


それでは解いていきましょう.

解答

曲線 C と直線 L を連立して,

   \left| \dfrac{1}{2}x^{2}-6\right|-2x=-x+t

   \left|\dfrac{1}{2}x^{2}-6\right|-x=t

と変形し

   y=f(x)=\left|\dfrac{1}{2}x^{2}-6\right|-x
   y=t

の共有点を考える.


f:id:mathchem:20170309125427p:plain:w300:right
(i) x≦-2\sqrt{3},\ 2\sqrt3≦x のとき,
   
\begin{align}
y&=\dfrac{1}{2}x^{2}-x-6\\
&=\dfrac{1}{2}(x-1)^2+\dfrac{13}{2}
\end{align}

(ii)-2\sqrt{3}≦x≦2\sqrt3 のとき,

   
\begin{align}
y&=-\dfrac{1}{2}x^2-x+6\\
&=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2+\dfrac{13}{2}
\end{align}

y=f(x) のグラフは図のようになり,これと直線 y=t が共有点を4個もつ範囲は

2\sqrt{3} \lt t \lt \dfrac{13}{2}