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数学にセンスはいらない。

2016年 大阪大 最大・最小値問題 〜阪大の数学〜

2016 大阪大 理系 (2)削除

c を正の定数とする.正の実数 x,\ yx+y=c をみたすとき,\left(1+ \dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{y}\right) の最小値を c を用いて表せ.

思考力,発想力なんかいらない!

今回は,大阪大の問題から,最大・最小値問題を紹介します.

問題は,2変数関数,の最大値・最小値ですね.
基本を押さえておけば大丈夫です.

2変数関数の解法

2変数関数は一文字固定 or 一文字消去
今回は文字消去できる関係式が与えられていますので,文字を消して考えやすくしましょう.

詳しい2変数関数の解き方も解説しているので,参考にしてみてください.

mathchem.hatenablog.com


解答

まずは,展開です.

   
\begin{align}
&\left(1+ \dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{y}\right)\\
&=1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{xy}\\
&=1+\dfrac{c+1}{xy}
\end{align}

ここで文字消去.

y=c-xより,

   
\begin{align}
&=1+\dfrac{c+1}{x(c-x)}\\
&=1+\dfrac{c+1}{-x^2+cx}\\
&=1+\dfrac{c+1}{-\left(x-\dfrac{c}{2}\right)^2+\dfrac{c^2}{4}}
\end{align}

二次関数の最大・最小問題へ

c>0 だから,-\left(x-\dfrac{c}{2}\right)^2+\dfrac{c^2}{4} が最大になるときが最小である.

x=\dfrac{c}{2}-\left(x-\dfrac{c}{2}\right)^2+\dfrac{c^2}{4} が最大になるので,

求める最小値は,

   1+\dfrac{c+1}{\dfrac{c^2}{4}}=1+\dfrac{4(c+1)}{c^2}

最大・最小値を満たす,x,\ y の確認を忘れずに.

このとき,x=y= \dfrac{c}{2}


別解

気づけば相加相乗平均でも...

相加相乗平均の関係から

   \dfrac{x+y}{2} ≧\sqrt{xy}

そして,x+y=c なので,

   \dfrac{x+y}{2}=\dfrac{c}{2}

より,

   \dfrac{x+y}{2} =\dfrac{c}{2}≧\sqrt{xy}

   xy≦\dfrac{c^2}{4}

である.等号は x=y= \dfrac{c}{2} で成り立つので,

求める最小値は \left(1+ \dfrac{2}{c}\right)^{2}