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数学に思考力,発想力なんかいらない!

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数学に思考力,発想力なんかいらない!!!
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2014 東京大 確率漸化式 〜東大の数学〜

2014 東京大 理系

 a自然数 (すなわち1以上の整数) の定数とする.
 白球と赤球があわせて1個以上入っている袋 \mathrm{U} に対して,次の操作 (*) を考える.
(*) 袋 \mathrm{U} から球を1個取り出し,
  (i)取り出した球が白球のときは,袋 \mathrm{U} の中身が白球 a 個,赤球1個となるようにする.
  (ii) 取り出した球が赤球のときは,その球を袋 \mathrm{U} へ戻すことなく,袋 \mathrm{U} の中身はそのままにする.

 はじめに袋 \mathrm{U} の中に,白球が a+2 個,赤球が1個入っているとする.この袋 \mathrm{U} に対して操作 (*) を繰り返し行う.たとえば,1回目の操作で白球が出たとすると,袋 \mathrm{U} の中身は白球 a 個,赤球1個となり,さらに2回目の操作で赤球が出たとすると,袋 \mathrm{U} の中身は白球 a 個のみとなる.
 n 回目に取り出した球が赤球である確率を p_{n} とする.ただし,袋 \mathrm{U} の中の個々の球の取り出される確率は等しいものとする.

(1) p_{1},\ p_{2} を求めよ.
(2) n\geqq 3 に対して p_{n} を求めよ.
(3) \displaystyle\lim_{m\rightarrow\infty}\dfrac{1}{m}\sum_{n=1}^{m}p_{n}

思考力,発想力なんかいらない!

見た目は重量感ありますが,誘導もあり丁寧な問題になっています.
誘導の(1)で落ち着いて状況把握できれば方針は問題ないでしょう.

求めにくい  n 回操作は確率漸化式!と意識できていれば
確率漸化式とその解き方 〜思考力,発想力なんかいらない〜 - 数学に思考力,発想力なんかいらない!!!


完答を狙えるでしょう.


ただ,文字が多い!


惑わされずに.

解答・解説

(1) まずは,実験して状況を把握!

1回目に赤玉1個取り出せばよいので,

   p_{1}= \dfrac{1}{a+3}\cdots①

2回目に赤を取り出すのは,1回目が白で2回目が赤のときで,

   p_{2}= \dfrac{a+2}{a+3}\cdot\dfrac{1}{a+1}

(2) p_{n} とあるので,漸化式を疑え!

n 回目の取り出し方を考える
  • 赤1個と白から取り出す
  • 白のみから取り出す

のいずれかである.

p_{n+1}となる操作を考える!

上の状況から,n+1 回目に赤を取り出すのは,n 回目に白(確率 1-p_{n}) を取り出し, n+1 回目に赤を取り出すときで,

   
\begin{align}
p_{n+1}&=(1-p_{n})\cdot\dfrac{1}{a+1}\\
&=-p_{n}\cdot\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{a+1}
\end{align}

★解ける漸化式の基本です.
   p_{n+1}-\dfrac{1}{a+2}=-\dfrac{1}{a+1}\left(p_{n}-\dfrac{1}{a+2}\right)

   p_{n}-\dfrac{1}{a+2}=\left(-\dfrac{1}{a+1}\right)^{n-1}\left(p_{1}-\dfrac{1}{a+2}\right)

①より,

   p_{n}= \dfrac{1}{a+2}-\dfrac{1}{(a+3)(a+2)}\left(-\dfrac{1}{a+1}\right)^{n-1}

(3)おまけの問題です。

   \displaystyle\lim_{m\rightarrow\infty}\dfrac{1}{m}\sum_{n=1}^{m}p_{n}=\dfrac{m}{a+2}-\dfrac{1}{(a+3)(a+2)}\cdot\dfrac{1-\left(-\dfrac{1}{a+1}\right)^m}{1+\dfrac{1}{a+1}}

a\geqq 1 より, \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\dfrac{1}{a+1}\right)^{m}=0
よって,
   \displaystyle\lim_{m\rightarrow\infty}\dfrac{1}{m}\sum_{n=1}^{rn}p_{n}=\dfrac{1}{a+2}

★文字が多いので惑わされないように.