Math Lab

数学にセンスはいらない。

2014 東京大 最大・最小値問題 〜東大の数学〜

2014 東京大 文系

以下の問いに答えよ.
(1) t を実数の定数とする.実数全体を定義域とする関数 f(x)f(x)=-2x^{2}+8tx-12x+t^{3}-17t^{2}+39t-18 と定める.このとき,関数 f(x) の最大値を t を用いて表せ.
(2) (1) の「関数 f(x) の最大値」を g(t) とする.tt\displaystyle \geqq-\frac{1}{\sqrt{2}} の範囲を動くとき,g(t) の最小値を求めよ.


思考力,発想力なんかいらない!

東大から最大最小値問題の基本問題を紹介します.
mathchem.hatenablog.com

に沿って解いていけば問題ないでしょう.
(1)は二次関数なので,平方完成
(2)最大値の最小値.3次関数になるので微分,ですね.

解答

(1)


\begin{align}
f(x)&=-2x^{2}+4(2t-3)x+t^{3}-17t^{2}+39t-18\\
&=-2\{x-(2t-3)\}^{2}+2(2t-3)^{2}+t^{3}-17t^{2}+39t-18 \\
&=-2\{x-(2t-3)\}^{2}+t^{3}-9t^{2}+15t
\end{align}

より,x=2t-3 のとき最大値 t^{3}-9t^{2}+15t をとる.

(2)

   g(t)=t^{3}-9t^{2}+15t
より,g'(t)=3(t^{2}-6t+5)=3(t-1)(t-5)

f:id:mathchem:20170307134755p:plain:w200:right

よって g(t) のグラフは右図のようになり,

最小値の候補は g(5),\ g\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) となる.

   g(5)=-25

   g\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=-\left(-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{9}{2}+\dfrac{15}{\sqrt{2}}\right)

\sqrt{2}>1 より \dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{9}{2}+\dfrac{15}{\sqrt{2}}<\dfrac{1}{2}+\dfrac{9}{2}+15<25

   g\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)>g(5)=-25

よって,求める最小値は -25

候補の評価は丁寧に!