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数学に思考力,発想力なんかいらない!

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2016年 東北大 不等式証明  〜東北大の数学〜

2016年 東北大 経済学部 後期

a,\ b,\ c を正の実数で,abc=1 を満たすものとする.このとき,次の (1), (2)の不等式を示せ.
(1) a^{2}+b^{c}+c^2\geqq\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\geqq\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}
(2) a+b+c\geqq 3

思考力,発想力なんかいらない!!!

不等式証明で必要なものは

mathchem.hatenablog.com



実際に手を動かしながらやってみましょう!


解答

(1)★与えられた関係式 abc=1 を用いて扱いやすく!

まず, a^{2}十b^2+c^{2}\geqq\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} を示す.

abc=1 より,bc=\dfrac{1}{a}, ca=\dfrac{1}{b}, ab=\dfrac{1}{c} より,

   a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqq bc+ca+ab

となる.左辺にまとめ,

   a^{2}+b^2+c^{2}-(bc+ca+ab)

   =\dfrac{1}{2}\{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\}\geqq 0

により成り立つ.

次に,
    \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\geqq\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} を示す.

★今度はルートと分数.んー嫌ですね.これは気づきが必要かなあと.

次はルートの中身を abc=1を使って変形してみます.

   \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\geqq \sqrt{{\dfrac{1}{bc}}}+\sqrt{\dfrac{1}{ca}}+\sqrt{\dfrac{1}{ab}}

★あれ?これ左辺の証明使えそう??
★証明したものを利用して証明するのはよくあります.ただ,普通は次の問題でやらされるんですけどね.

 p=\sqrt{\dfrac{1}{a}},\ q=\sqrt{\dfrac{1}{b}},\ r=\sqrt{\dfrac{1}{c}} とおくと

   p^2+q^2+r^2 \geqq pq+qr+rp

となり,これは前半で証明しているので,成り立つ.

(2) ★(1)を使うのかと思いきや,使えそうもない...

3数の相加相乗平均の不等式を用いると.

   \dfrac{a+b+c}{3}\geqq \sqrt[3]{abc}=1

   {a+b+c}\geqq 3

★相加相乗平均の不等式は不等式証明,最大・最小値問題の道具として持っておきましょう.
mathchem.hatenablog.com


★最大値,最小値問題ならきちんとその「値」を取るか等号成立を確認しなければなりませんが,不等式証明では等号成立は指示がない限り不要です.

簡単な例でいえば,1≧0 書いても何も問題はないです.≧は0,または0より大きいという意味ですから.