Math Lab

数学にセンスはいらない。

不等式証明とそのやり方

不等式証明とそのやり方

不等式証明は入試では頻出です.
誘導の一つで,証明させ,それを次の問題で使わせたり,
大問で丸ごと全部不等式証明させたり、、、

入試ではよ〜く見かけます.


証明方法が複数あるので,整理して自在に使えるようにしたいところです.

不等式証明のやり方は主に次の通りです.

  1. 片方にまとめて,A-B≧0 or B-A≦0 を示す
  2. 不等式を使って不等式を証明する
  3. A (左辺)を変形して A≧B の形を作る
  4. 自然数n からみの場合は帰納法
  5. 面積評価に持ち込む



それぞれ簡単に説明していきます.

  A≧Bを示す場合,

片方にまとめて,A-B≧0 (or B-A≦0) を示す

これが一番の基本です.片方にまとめることで比較しやすくします.そして最大値・最小値問題に帰着させます.

A-B の最小値(最大値)が0であることを示せ

最大値・最小値問題ととらえ,証明していきます.

最大値・最小値問題は様々な解法があるので,リンクで確認してみてください.

不等式を使って不等式を証明する

他の不等式が利用できることは多いです.条件で与えられている不等式や,前問で証明させられた不等式を利用したりと上手く誘導がついている時も少なくありません.


A (左辺)を変形して A≧B の形を作る

式変形により,Cを経由して,A≧C≧Bの形を作って証明するやり方です.不等式を作るというイメージですね.

簡単な式変形で証明できるの問題もあれば,有名な不等式を利用させるものも.特に,相加相乗平均の関係平均値の定理は押さえておいて欲しいです.どちらも考え方は簡単なのですが,利用法が難しいです.



n からみの場合は帰納法

自然数 n からみの不等式証明は帰納法が有効です.漸化式など,数列が絡んだ時にも有効です.

数学的帰納法


面積評価に持ち込む

\sum \dfrac{1}{x},\ \sum \log x などの単調増加,単調減少関数の和の不等式が見えたら面積評価を疑ってみましょう.面積比較することで不等式が証明できることがあります. 近年の入試問題から基本問題を載せておきます. 

不等式証明は正直,経験が必要...

基本は①ですが,無理な場合は②〜④を疑いましょう.
使う道具は少ないのですが,式変形などはどうしても練習して経験を積まねばなりません.それでも,上の解法を意識しながら問題を解くと正しい解法が選択できるようになると思います.