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Math Lab

数学に思考力,発想力なんかいらない!

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数学に思考力,発想力なんかいらない!!!
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2014 京都大 数学 確率漸化式 〜京大の数学〜

2014 京都大 第2問

2つの粒子が時刻 0 において \triangle \mathrm{ABC} の頂点 A に位置している.これらの粒子は独立に運動し,それぞれ1秒ごとに隣の頂点に等確率で移動していくとする.たとえば,ある時刻で点 C にいる粒子は,その1秒後には点 A または点 B にそれそれ \dfrac{1}{2} の確率で移動する.この2つの粒子が,時刻 0 の n 秒後に同じ点にいる確率 p(n) を求めよ.

思考力,発想力なんかいらない!!!

今回も京大の確率を紹介していきます.


京大といえど,基本解法が身についていれば,十分完答できるでしょう.
こういった問題を確実に取る力が大切です.

  • 必要な基本解法は

mathchem.hatenablog.com
です!!!


全然解法浮かばんかったって子は確認してから再度チャレンジしてみてください.



それでは,解いて行きましょう.

解答

★まず,n 秒後の状態を全て考えます.

n 秒後の2つの粒子の状態は

  • 同じ点にいる p(n)
  • 同じ点にいない 1-p(n)

のいずれか.

★次に p_{n+1} になる移動を考えます.

1秒後に同じ点にあるには,

  • 同じ点にいるとき (確率 p(n) )

 ともに同じ点 (2点ある) に移動すればよく,
 その確率は \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}\cdot2=\dfrac{1}{2}

  • 違う点にいるとき (確率 1-p(n) )

 ともに空いている点に移動すればよく,
 その確率は \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}

よって,n+1 秒後に同じ点にある確率は

   
\begin{align}
p_{n-1}&=p_{n}\cdot\dfrac{1}{2}+(1-p_{n})\cdot\dfrac{1}{4}\\
&=\dfrac{1}{4}p_{n}+\dfrac{1}{4}
\end{align}

   p_{n+1}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{4}\left(p_{n}-\dfrac{1}{3}\right)

   p_{n}-\dfrac{1}{3}=\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}\left(p_{0}-\dfrac{1}{3}\right)

時刻 0 で2つの粒子は同じ点にいるので,p_{0}=1 よって,

   p(n)= \dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}