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Math Lab

数学に思考力,発想力なんかいらない!

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数学に思考力,発想力なんかいらない!!!
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2011 筑波大 数学 通過領域 〜筑波大の数学〜

2011年 筑波大

\mathrm{O} を原点とする xy 平面において,直線 y=1|x|\geqq 1 を満たす部分を C とする.
(1) C 上に点 \mathrm{A}(t,\ 1) をとるとき,線分 \mathrm{OA} の垂直二等分線の方程式を求めよ.
(2) 点 \mathrm{A}C 全体を動くとき,線分 \mathrm{OA} の垂直二等分線が通過する範囲を求め,それを図示せよ.

思考力,発想力なんかいらない!!!

今回は筑波大の通過領域の問題を紹介します.

通過領域の解法を押さえておけば,方針は問題ないでしょう.


場合分けが生じることも多いので,丁寧に.


それでは解いていきましょう.


解答

(1) \mathrm{OA} の傾きは \dfrac{1}{t}, \mathrm{OA} の中点は \left( \dfrac{t}{2},\ \dfrac{1}{2}\right) であるから,OA の垂直二等分線は

   y=-t\left(x- \dfrac{t}{2}\right)+\dfrac{1}{2}
   y=-tx+ \dfrac{t^{2}+1}{2}\cdots①


(2)

解法1 文字定数が存在する条件を求める.

線分 \mathrm{OA} の垂直二等分線で通過する点 (X,\ Y) が存在する t の条件を考える.t に関して,(1)で点 \mathrm{A}(t,\ 1)C 上にあるので,y=1,\ |x|≧1を満たす.t は点Aの x 座標なので,|t|≧1 を満たす①の解 t が少なくとも一つ存在すればよい.

   
\begin{align}
f(t)&=t^2-2xt-2y+1\\
&=(t-x)^2-x^2-2y+1
\end{align}

とする.

少なくとも,なので,実数条件から,|t|≧1 を満たす①の解 t が存在しない範囲を除けばよい.

まず①から,

   t^2-2xt-2y+1=0

を満たす実数tが存在するのは判別式から

   x^2-4(-2y+1)≧0

   y≧\dfrac{-x^2+1}{2}

また,|t|≧1 を満たす①の解 t が存在しない範囲は,次のグラフから
f:id:mathchem:20170304224125j:plain:w200:right

-1≦ x≦ 1 のとき,

    f(1)\gt 0かつf(-1)\gt 0

なので,
 f(-1)=\dfrac{1}{2}+x-y+\dfrac{1}{2} \gt 0   
   ∴ y\lt x+1 

かつ

 f(-1)=\dfrac{1}{2}-x-y+\dfrac{1}{2}\gt 0  
   ∴ y\lt -x+1

となるので,これをy≧\dfrac{-x^2+1}{2}からを除いたものが求める範囲となる.

   f:id:mathchem:20170304230845j:plain:w300

従って,求める範囲は図のようになる.





解法2 x を固定して文字定数を動かす

①で x を一つ固定する.①の右辺を t の2次関数と見て,|t|\geqq 1 で動かしたときの y の範囲を求める.

   
\begin{align}
f(t)&= \dfrac{t^{2}}{2}-xt+\dfrac{1}{2}\\
&=\dfrac{1}{2}(t-x)^{2}+\dfrac{-x^2+1}{2}
\end{align}

が取り得る値の範囲を求めればよい.

(i) x\leqq-1 または x\geqq 1 のとき,

   y\geqq f(x)=\dfrac{-x^{2}+1}{2}

(ii) -1\leqq x\leqq 1 のとき,

   y\geqq f(-1)=x+1 , y≧f(1)=-x+1 の小さい方


従って,求める範囲を図示すると,解法1のようになる.



★解法1で,解法2の解法(kの関数を考える)がでてきちゃったので,解法2でやった方が楽でしたね.