Math Lab

数学にセンスはいらない。

2015年 東大 通過領域  〜東大の数学〜

2015年 東京大 理系 第1問

正の実数 a に対して,座標平面上で次の放物線を考える.

   C:y=ax^{2}+\dfrac{1-4a^2}{4a}

が正の実数全体を動くとき,C の通過する領域を図示せよ.

思考力,発想力なんかいらない!!!

今回の東大の問題は見るからに通過領域.

通過領域の解き方が頭にしっかり入っていれば,ある程度,記述できたでしょう.本番でも完答したいところ.


通過領域の解法を次の2通り.

  • 文字定数が存在する条件を考える
  • x を固定して k を動かす

通過領域の解き方を一通り学習した子は方針は問題なかったでしょう.

不安な子は一度確認してみてくださいね.





それでは,解いていきましょう.



解答1 文字定数の存在条件を考える.

(X,\ Y) を通る直線 C が存在するための条件は,

   y=ax^{2}+\dfrac{1-4a^2}{4a}\cdots①

をみたす正の実数 a が存在することである.①を a について変形すると

   4ay=4a^2x^{2}+1-4a^{2}

   4(1-x^2)a^{2}+4ay-1=0 \cdots②

(i) x=\pm 1 のとき,

 ②は 4ya=1 となり,正の解 a をもつための y の条件は y>0 である.

(ii) x\neq\pm 1 のとき, a2次方程式②が実数解をもつことから,判別式を考え

   
\begin{align}
{}&(2y)^2-4(1-x^{2})\cdot(-1)\\
&=4(-x^2+y^{2}+1)≧0
\end{align}

から

    x^{2}-y^{2}\leqq 1

となる.

ここで,解と係数の関係に注目して実数解 a が正となる条件を調べる.

   f(a)=4(1-x^2)a^{2}+4ay-1

とする.f(a) は二次関数なので上に凸のグラフ,下に凸のグラフに分けて調べる.

ここで,解と係数の関係から2数の積と和に注目する.
2数の積は,\dfrac{-1}{4(1-x^{2})}, 2数の和は -\dfrac{4y}{4(1-x^2)}


(ア) 下に凸のグラフ,つまり,1-x^2>0 のとき,

解と係数の関係から,2数の積は

   \dfrac{-1}{4(1-x^{2})}

となり,1-x^2>0 なので,

   \dfrac{-1}{4(1-x^{2})}<0

となり,2数は異符号,つまり正と負の解をもつ

よって,1-x^2>0, つまり  -1 \lt x \lt 1 で正になる.


(イ) f(a) が上に凸のとき,つまり,1-x^2<0 のとき,

2解の積は \dfrac{-1}{4(1-x^{2})}>0 なので2解は同符号である.

よって,2解が同符号で,正の解をもつのは

2解の和が -\dfrac{4y}{4(1-x^2)}>0のときなので,

正の解が存在する条件は y>0 (かつ x<-1,\ 1>x)


f:id:mathchem:20170304174211j:plain:w300:right
以上より,求める

軌跡は 図のようになる.
ただし,境界は,x^{2}-y^{2}=1y>0 の部分.











解答2 x を固定し a を動かす

x を固定し a を変数とすると,

   
\begin{align}
y&=x^{2}a+\dfrac{1-4a^2}{4a}\\
&=x^2a+\dfrac{1}{4a}-4a\\
&=(x^2-4)a+\dfrac{1}{4a}
\end{align}

通分して

   y=\dfrac{4(x^2-4)a^2+1}{4a}

(i)  x^2=4 のとき,y=\dfrac{1}{4a} となる.a>0 なので,y>0 となる.

(ii) x^2-4\pm0 のとき,ya微分すると,


\begin{align}
y'&=\dfrac{8(x^2-4)a-\{4(x^2-4)a^2+1\}\cdot4}{(4a)^2}\\
&=\dfrac{2(x^2-4)a-\{4(x^2-4)a^2+1\}}{4a^2}
\end{align}

=\dfrac{-4(x^2-4)a^2+2(x^2-4)a-1}{4a^2}


後は増減調べて, y の範囲を出してあげればOKです.

場合分けもありますが,解法1と同様の答えになるか確認してみてください!