Math Lab

数学にセンスはいらない。

通過領域とその解き方

思考力,発想力なんかいらない!

通過領域とその解き方

通過領域の問題は,東大・京大・旧帝大をはじめとする難関大で頻出です.


通過領域の解法は次の2つです.

  • 文字定数の存在条件を求める
  • 変数 x を固定して 文字定数 を動かす

*問題によって,使いやすい方を選択します.


覚えて使えっていっても,最初は難しい...

僕は理解するのに時間がかかり,使えるようになるまでもさらに時間がかかりました...

でも,必要な知識は基本的なので,少しずつ

解説を読み終わった後に「そういうことか!!!」と納得してもらえたらと思います.

少し長くなりますが,お付き合いください.


それでは一緒に解いていきましょう.

例題

 k を実数とする.直線 Ly=kx+1-k-k^{2} とする.
(1) 直線 L が点 (2, 1) を通るような k の値を求めよ.
(2) k の値が実数全体を動くとき,直線 L が通る範囲を求め,図示せよ.

(06 岐阜聖徳学園大)

解答・解説

    L:y=kx+1-k-k^{2}\cdots①

(1) 何を意味するのか,が大切です.
答えを出すだけなら何でもないですが,問題が何を意味するのか,が大切です.

 L が点 (2, 1) を通るので,①に代入すると

   1=2k+1-k-k^{2}
   k^{2}-k=0  ∴ k=0, 1

(2, 1) を通るとき, k=0,\ 1 となる.

①に得られた k を代入すると,

    y=1,\ y=x+1-1-1^2=x-2

という直線の式が2つ得られます.

これを言い換えると,「点(2, 1)を通るの2直線  y=1,\ y=x-2 が存在する」

ということです.

ここまでは大丈夫ですか.


(2) 通過領域はこう解く!!!
(1)では,具体的に (2, 1) を通る直線を求めました.

(1)の誘導を踏まえると,(2)では何を聞かれているのでしょうか.

もう一度読んで見みると

   「k の値が実数全体を動くとき,直線 L が通る範囲を求め,」

とあります.これは次のように言い換えることができます.

   「実数kが存在する全ての直線Lを求めよ!」

んー?よくわからんなーという人もいると思うので,

もう少し具体的に考えてみます.

(1)では (2,\ 1)を通る実数 k が存在しました.

でも,実は実数kが存在しない点もあるんですよね.

例えば (1,\ 2) を代入してみると,

   2=k+1-k-k^2
   k^2=-1
 
となる.でもこれを満たす実数 k は存在しませんよね.(虚数なら i ですが...)

つまり,(1,\ 2) を通る直線 L は存在しないということです.

問題は「実数 k」が動くときって言っているので,「実数 k」が存在しないとダメなんです.


そかそか,じゃあ,実数 k が存在するような点を全て調べればよいのか.

そうです.でも(1)のように1点1点代入して調べることなんて到底できませんからから点を (X,\ Y) と置いて次のように調べ上げます.


(X, Y) を通るような直線が存在する条件は,①により,

   Y=kX+1-k-k^{2}

   k^{2}-(X-1)k+Y-1=0

を満たす実数kが存在することなので,判別式から

   (X-1)-2-4(Y-1)≧0
   ∴ Y≦\dfrac{1}{4}(x-1)^2+1

よって,求める範囲は

   y≦\dfrac{(x-1)^{2}}{4}+1

となります.


(1)で具体的に代入した (2,\ 1) が範囲にあることも確認できます.また,(1,\ 2) は範囲外というもの確認できますね.


これが最初の解法紹介のところで書いた

  • 文字定数の存在する条件を求める

の解法です.なんとなく意味がお分かりいただけたでしょうか.

一回だけではすっと理解するのは難しいかもしれません.

そのときは,まずは使ってみてください.使っていくうちにだんだんと理解も深まっていくと思います!



では,2つめの解法を紹介しますね.

  • 変数 x を固定して文字定数を動かす

例題の解き方では,誘導に従い,具体的に座標の点を代入していきました.

逆に「k」に具体的に実数を入れても調べることができますよね.

(1)で求めた k で考えてみますね.

k=0 のとき, y=1, k=1のとき \ y=x-2 という直線が存在する.

(1)の誘導がなかったら実数 k に代入する方が自然ですね.


これも前半の解法と同様,k に1つ1つ代入していくことなんてできませんから,

そこで,文字定数 k を変数としてとらえ関数の処理をします.

①式で x,\ k も変数とすると2変数になってしまいますから,変数 x を固定し,kの一変数関数ととらえます.(2変数関数の基本:一文字固定)

すると,①は k の二次関数となり,平方完成すると,

   y=-\left(k- \dfrac{x-1}{2}\right)^{2}+\dfrac{(x-1)^{2}}{4}+1

従って,y の最大値は \dfrac{(x-1)^{2}}{4}+1 なので,

y の範囲は,y≦\dfrac{(x-1)^{2}}{4}+1

よって,求める通過領域は

   y≦\dfrac{(x-1)^{2}}{4}+1

となる.


*実際に k を変化させたときの様子を載せておきますね.
kを-15〜15 まで変化させています.求めた解答のような二次関数になってますよね!

f:id:mathchem:20170304150325g:plain





長くなりましたが,以上になります.

通過領域の解法

  • 文字定数の存在条件を求める
  • 変数 x を固定して文字定数を動かす

の使い方,お分かりいただけたでしょうか?

両方使えるよう,他の問題にもチャレンジして少しずつ理解を深めていきましょう!