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数学に思考力,発想力なんかいらない!

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2013年 東京大 実数解の個数 〜東大の数学〜

2013年 東京大 理系 第2問

a を実数とし,x>0 で定義された関数 f(x),\ g(x) を次のように定める.

   f(x)=\dfrac{\cos x}{x},\ \ g(x)=\sin x+ax

このとき y=f(x) のグラフと y=g(x) のグラフが x>0 において共有点をちょうど3つもつような a をすべて求めよ.

思考力,発想力なんかいらない!

  • 実数解の個数の基本的な考え方に従えばやるべきことは大丈夫.

実数解の個数の問題の解法は詳細はリンクに.
mathchem.hatenablog.com

  • 共有点の個数は,文字定数分離!!! 
  • 分離後は丁寧に計算して増減調べる!!!

解答

f(x)= \dfrac{\cos x}{x},\ g(x)=\sin x+ax の共有点を考えるので,

   \dfrac{\cos x}{x}=\sin x+ax

を考え,次のように変形する.

   \dfrac{\cos x}{x}-\sin x=ax
   \dfrac{\cos x}{x^2}-\dfrac{\sin x}{x}=a
   \dfrac{\cos x-x\sin x}{x^2}=a

そして,

h(x)= \dfrac{\cos x-x\sin x}{x^{2}} とおき,y=h(x)y=a の共有点を考える.

   h'(x)=\dfrac{(-\sin x-\sin x-x\cos x)x^{2}-(\cos x-x\sin x)\cdot 2x}{x^{4}}

整理して
   h'(x)=\dfrac{-x^{2}\cos x-2\cos x}{x^{3}}=-\dfrac{x^{2}+2}{x^{3}}\cos x

h'(x)=0 を満たすのは,\cos x=0 なので,

   x=\dfrac{\pi}{2}+2n \pi  (n は非負の整数)

となる.

これより,増減表は次のようになる.

\begin{array}{c|ccccccccccc}
\hline
x&0&\cdots&\dfrac{\pi}{2}&\cdots&\dfrac{3\pi}{2}&\cdots&\dfrac{5\pi}{2}&\cdots&\dfrac{7\pi}{2}&\cdots\\
\hline
h'(x)&{}&-&0&+&0&-&0&+&0&-\\
\hline
h(x)&\infty&\searrow&-\dfrac{2}{\pi}&\nearrow&\dfrac{2}{3\pi}&\searrow&-\dfrac{2}{5\pi}&\nearrow&\dfrac{2}{7\pi}&\searrow\\
\hline
\end{array}

増減から y=h(x) のグラフは図のようになり,

f:id:mathchem:20170303165754j:plain


共有点がちょうど3つになるのは  a=-\dfrac{2}{5\pi},\ \dfrac{2}{7\pi}\lt a \lt\dfrac{2}{3\pi}