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実数解の個数とその解き方

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実数解の個数とその解き方

  1. シンプルな二次方程式なら判別式 
  2. 絶対値付き,その他の関数なら文字定数を分離して視覚化
  3. 3次関数で定数分離できない場合は極値に注目

 今回は頻出である,2.の文字定数分離を紹介します.文字定数分離はあらゆる単元で出題されるので押さえておきましょう. 

 文字定数を分離して,y=f(x),\ y=k の共有点を考えます.y=ky 軸に平行な直線なので視覚的捉えやすくなります.

 実際に問題を解きながら視覚化することの重要性を感じていきましょう.

例題 2015年 千葉大 少し改

 a を実数とする.x に関する方程式 |x^{2}-6x-|x-6||+x-a=0 の実数解の個数を求めよ.

ポイント

 原題は文字定数が分離されたいました.今回は練習のため,改題しました.場合分けして絶対値を外せば二次方程式の問題になりますが,これは非常に面倒です.

 そこで,文字定数分離して視覚化します.


 絶対値の問題の解き方も確認しておきましょう.今回は絶対値の中に絶対値があるので複雑に見えますが,以下のルールに従って解いていけば大丈夫です.

  • 絶対値の中の絶対値は内側から順にはずせ!
  • 絶対値は0を境に場合分けしてはずせ!

解答

|x^{2}-6x-|x-6||+x-a=0から
|x^{2}-6x-|x-6||+x=a

f(x)=|x^2-6x-|x-6||+x とおき,y=f(x),\ y=a の共有点を考える.
y=f(x) のグラフは

(i) x\geqq 6 のとき,

   f(x)=|x(x-6)-(x-6)|+x=|(x-6)(x-1)|+x

前提の条件を忘れない!!!

x\geqq 6 なので 

   f(x)=(x-6)(x-1)+x=x^{2}-6x+6=(x-3)^{2}-3

(ii) x\leqq 6 のとき,

   f(x)=|x(x-6)+(x-6)|+x=|(x-6)(x+1)|+x

y=|(x-6)(x-1)|のグラフを考えると図のようなので,

f:id:mathchem:20170303125424p:plain:w200:right

-1\leqq x\leqq 6 のとき,

   f(x)=-(x-6)(x+1)+x
     =-x^{2}+6x+6=-(x-3)^{2}+15

x\leqq-1 のとき,

   f(x)=(x-6)(x+1)+x
     =x^{2}-4x-6=(x-2)^{2}-10


したがって,曲線 y=f(x) は図のようになる.

f:id:mathchem:20170303125450g:plain:w300:right

曲線 y=f(x) と直線 y=a の共有点の個数を考えると,
a \lt-1 のとき 0個,
a=-1 のとき 1個,
-1 \lt a \lt 6 のとき 2個,
a=6 のとき 3個,
6 \lt a \lt15 のとき 4個,
a=15 のとき 3個,
a \gt 15 のとき 2

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三角関数,数Ⅲの微分を使用する問題なので,学習進度に合わせて解いてみてください.