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数学にセンスはいらない。

2012 北海道大 三角関数 実数解の個数 〜北大の数学〜

2012 北海道大/最初の設問削除

- \dfrac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2} で定義された関数
   f(\theta)=4\cos2\theta\sin\theta+3\sqrt{2}\cos 2\theta-4\sin\theta
を考える.
(1) f(\theta) の最大値と最小値,およびそのときの \theta の値を求めよ.
(2) 方程式 f(\theta)=k が相異なる3つの解をもつような実数 k の値の範囲を求めよ.


思考力,発想力なんかいらない

今回の北大の問題は,次の基本的な解法の組み合わせです.

必要な知識・解法

三角関数の最大最小値の解き方
mathchem.hatenablog.com

実数解の個数の問題の解き方
mathchem.hatenablog.com

解法がすぐに浮かばなかった子は先に上のリンクの問題に取り組んでから再度チャレンジ!!!



それでは,解いていきましょう.


解答

  f(\theta)=4\cos 2\theta\sin\theta+3\sqrt{2}\cos 2\theta-4\sin\theta

\sin \theta=t\cdots①とおくと,-1≦t≦1  \left(∵ - \dfrac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}\right)\cdots②

上の式を変形し

  g(t)=4(1-2t^{2})t+3\sqrt{2}(1-2t^{2})-4t
    =-8t^{3}-6\sqrt{2}t^{2}+3\sqrt{2} 
とする.

   g'(t)=-24t^{2}-12 \sqrt{2}t=-24t\left(t+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)

より g(t) のグラフは下図のようになる.

f:id:mathchem:20170302223237j:plain:w300:right

ここで
最大値の候補は
  g(-1)=8-3\sqrt{2}
  g(0)=3\sqrt{2}
最小値の候補は
  g(1)=-8-3\sqrt{2}
  g\left(- \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=2\sqrt{2}

まず,最小値は,-8-3\sqrt{2} となる.そして最大値の候補を評価をする.
  \sqrt{2}>1.4 より 8-3\sqrt{2}<8-3\cdot 1.4=3.8
  3\sqrt{2}>3\cdot 1.4=4.2 となるから 8-3\sqrt{2}<3\sqrt{2} である.

よって求める最大値・最小値は
 最大値: t=0, つまり \theta=0 のとき 3\sqrt{2},
 最小値: t=1, つまり \theta=\dfrac{\pi}{2} のとき -8-3\sqrt{2}

求めたいのは \theta の個数!!!  t じゃない!!!置き換えたら対応を考えよ!

(2) y=f(t)y=k の共有点の個数を考える.
②の t に対し①の \theta が一つ定まるので,g(t)=k が相異なる3つの解をもつ kの範囲を求めればよい.
g(x) のグラフは上図のようになるので,求める範囲は,2\sqrt{2} \lt k\leqq 8-3\sqrt{2}


京大でも出題!!!

mathchem.hatenablog.com
類題置いておきます.この京大のも基本解法の組み合わせです!
北大の後に解くのがおススメ!