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数学に思考力,発想力なんかいらない!

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2008年 京大 三角関数 〜京大の数学〜

2008年 京大 文系

0\leqq x \lt 2\pi のとき,方程式
   2\sqrt{2}(\sin^{3}x+\cos^{3}x)+3\sin x\cos x=0
を満たす x の個数を求めよ.

思考力,発想力なんかいらない!

今回の京大は,

三角関数の基本と,実数解の個数の組み合わせです.基本が押さえてあれば十分完答可能な問題です.

必要な知識・解法

 ★ 三角関数の最大最小問題の解き方
mathchem.hatenablog.com

 ★ 実数解の個数の問題の解き方
mathchem.hatenablog.com

  • 問題読んでもさっぱりだぜって子は上のリンクの問題に取り組んでから再度チャレンジしてみてね.


では,解いていきましょう.

解答

    2\sqrt{2}(\sin^{3}x+\cos^{3}x)+3\sin x\cos x=0 \cdots①

 t=\sin x+\cos x (0\leqq x \lt<2\pi\cdots②) とおくと,

   t= \sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\cdots③

でとなる.②から t の範囲は -\sqrt{2}\leqq t\leqq\sqrt{2}\cdots④

そして,
   t^{2}=1+2\sin x\cos x
    \sin x\cos x=\dfrac{t^{2}-1}{2}
   
\begin{align}
\sin^{3}x+\cos^{3}x&=(\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x)\\
&=t\left(1-\dfrac{t^{2}-1}{2}\right)\\
&=\dfrac{t(-t^{2}+3)}{2}
\end{align}

よって,①は
   \sqrt{2}t(-t^{2}+3)+\dfrac{3}{2}(t^{2}-1)=0
   2\sqrt{2}t^{3}-3t^{2}-6\sqrt{2}t+3=0\cdots⑤

⑤の左辺を f(t) とおくと,

   f'(t)=6\sqrt{2}t^{2}-6t-6\sqrt{2}
   =6(\sqrt{2}t^{2}-t-\sqrt{2})=6(\sqrt{2}t+1)(t-\sqrt{2})

であるから,y=f(t) のグラフ以下のよう.

f:id:mathchem:20170302185817j:plain

よって,④,⑤を満たす t はただ1個で, -\sqrt{2}\lt t \lt\sqrt{2}にある.

求めたいものは x の個数!!! t ではない!!!

ここで,t 1つに対応する x の個数を考える.

図のように ③ を考えると,
f:id:mathchem:20170302185951p:plain:w300:right

  • t=\pm\sqrt{2} のとき x は1個
  • -\sqrt{2} \lt t \lt\sqrt{2} のとき x は2個

となる.

従って,①,②を満たす x は2個となる.