Math Lab

数学にセンスはいらない。

2011年 東大 軌跡 〜東大の数学〜

2011年 東大 文理共通

座標平面上の1点 \mathrm{P}\left(\dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{4}\right) をとる.放物線 y=x^{2} 上の2点 \mathrm{Q}(\alpha,\ \alpha^{2}),\ \mathrm{R}(\beta,\ \beta^{2}) を,3点 \mathrm{P}\mathrm{QR} を底辺とする二等辺三角形をなすように動かすとき, \triangle\mathrm{PQR} の重心 \mathrm{G}(X, Y) の軌跡を求めよ.

思考力,発想力なんかいらない!!!

今回の東大は,軌跡です.

  • 軌跡の解き方

mathchem.hatenablog.com

を押さえておけば途中まではクリアです.


後半が難しく差がつくところですが...


それでは解いていきましょう.

解答

  \mathrm{QR}が底辺の二等辺三角形なので,  \mathrm{PQ^{2}=PR^{2}} となる.これより,

   \left( \alpha-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\alpha^{2}-\dfrac{1}{4}\right)^{2}=\left(\beta-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(
\beta^{2}-\dfrac{1}{4}\right)^{2}\cdots①

整理すると,
   \alpha^{2}-\beta^{2}-(\alpha-\beta)+\alpha^{4}-\beta^{4}-\dfrac{1}{2}(\alpha^{2}-\beta^{2})=0
   \alpha^{2}-\beta^{2}-2(\alpha-\beta)+2(\alpha^{2}-\beta^{2})(\alpha^{2}+\beta^{2})=0

\alpha-\beta\neq0 で割り,

   \alpha+\beta-2+2(\alpha+\beta)(\alpha^{2}+\beta^{2})=0\cdots②

一方,\mathrm{G}(X, Y) \triangle\mathrm{PQR} の重心なので

   X= \dfrac{1}{3}\left(\alpha+\beta+\dfrac{1}{2}\right),\ Y= \dfrac{1}{3}\left(\alpha^{2}+\beta^{2}+\dfrac{1}{4}\right)

より,
    \alpha+\beta=3X-\dfrac{1}{2}\cdots③  \alpha^{2}+\beta^{2}=3Y-\dfrac{1}{4}\cdots④

③,④を②に代入すると

   3X- \dfrac{1}{2}-2+2\left(3X-\dfrac{1}{2}\right)\left(3Y-\dfrac{1}{4}\right)=0
   \left(3X-\dfrac{1}{2}\right)\left(6Y+\dfrac{1}{2}\right)=2
   \left(X- \dfrac{1}{6}\right)\left(Y+\dfrac{1}{12}\right)=\dfrac{1}{9}\cdots⑤

ここからは差が着く!

 \mathrm{PQ^{2}=PR^{2}}だけでは,二等辺三角形になるとは限りません.題意を満たす三角形になる十分条件を確認しましょう.

今回は  \alpha\beta が少し複雑になります.ゴリゴリで実数条件に持ち込んでも解けます!! 実際の試験ならこっちで途中まで進めるのが現実的かなあと思います.

せっかくなので,今回は少し工夫しています.ここまでの式から  \alpha+\beta, \alpha^2+\beta^2 を置き換えると...


ここで,底辺QRとする三角形PQRが存在する十分条件を考えると,
①を満たす, 異なる実数\alpha,\ \beta が存在すればよい.

   \alpha +\beta=3X-\dfrac{1}{2}

   \alpha\beta=\dfrac{(\alpha+\beta)^{2}-(\alpha^{2}+\beta^{2})}{2}

ここで,\alpha +\beta=s,\ \alpha^{2}+\beta^2=tとおくと,

   \alpha\beta=\dfrac{(\alpha+\beta)^{2}-(\alpha^{2}+\beta^{2})}{2}=\dfrac{s^{2}-t}{2}

\alpha,\ \betau^{2}-su+ \dfrac{s^{2}-t}{2}=0 の異なる実数解だから,

   s^{2}-2(s^{2}-t)>0 ∴  2t>s^{2}\cdots⑥

②より
   s-2+2st=0 ∴  2t= \dfrac{2-s}{s}

⑥とから,

   \dfrac{2-s}{s}>s^{2}
   \dfrac{s^{3}+s-2}{s}<0
   \dfrac{\left(s-1\right)\left(s^{2}+s+2\right)}{s}<0
   ∴ 0\lt s \lt 1

 s=\alpha+\beta=3X-\dfrac{1}{2} なので,

   0 \lt 3X- \dfrac{1}{2} \lt 1 ∴ \dfrac{1}{6} \lt X \lt \dfrac{1}{2}

より求める軌跡は,

   \left(x- \dfrac{1}{6}\right)\left(y+\dfrac{1}{12}\right)=\dfrac{1}{9} \left( \dfrac{1}{6} \lt x \lt \dfrac{1}{2}\right)