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二変数関数とその解き方 〜思考力,発想力なんかいらない!〜

二変数関数の問題の解き方

①二変数関数の基本は一文字固定
②関係式が与えられたら一文字消去

  • 文字消去は条件に気をつけよ
  • 対称式なら基本対称式を利用せよ

③②で文字消去が厳しいときは求めたい式を kと置く

  • 与えられた関係式に代入して満たす条件を作れ


ここでは,二次関数の最大・最小値問題を通して,二変数関数の基本的な解き方を紹介していきます.
二変数関数は不等式証明など,他の単元にも使えるので応用が利くようしっかりと取り組みましょう.


例題1 一文字固定

x, y を実数とするとき,9x^{2}-3xy+y^{2}-6x-8y+30
の最小値およびそのときの x, y の値を求めよ.

解答

 9x^{2}-3xy+y^{2}-6x-8y+30
=y^{2}-(3x+8)y+9x^{2}-6x+30
=\left\{y-\left(\dfrac{3}{2}x+4\right)\right\}^{2}+\dfrac{27}{4}x^{2}-18x+14
=\left\{y-\left(\dfrac{3}{2}x+4\right)\right\}^{2}+\dfrac{27}{4}\left(x-\dfrac{4}{3}\right)^{2}+2

であるから, y= \dfrac{3}{2}x+4 かつ x= \dfrac{4}{3}のとき,つまり (x,\ y)=\left( \dfrac{4}{3},\ 6\right) のとき,最小値2をとる.

★関係式が与えられてないときは,まず一方を固定します.今回は二次式なので二次関数の最大・最小問題に帰着させます.


例題2 一文字消去

実数 x,\ y3x+y=4 を満たしながら変化するとき,x^{2}+y^{2} の最小値を求めよ.

解答

y=4-3x より

  
\begin{align}
x^{2}+y^{2}&=x^{2}+(4-3x)^{2}\\
&=10x^{2}-24x+16\\
&=10\left(x-\dfrac{12}{10}\right)^{2}-\dfrac{144}{10}+16\\
&=10\left(x-\dfrac{6}{5}\right)^{2}+\dfrac{8}{5}
\end{align}

となり,求める最小値は,\dfrac{8}{5} でこのとき,x=\dfrac{6}{5}, \ y=\dfrac{2}{5} である.

★与えられた式から一方の文字を消去して1変数の二次関数に帰着させます.


例題3 一文字消去

実数 x,\ yx^{2}+3y^{2}=1 を満たす.このとき,\dfrac{1}{3}x+y^{2} の最大値と最小値を求めよ.また,そのときの x, y の値を求めよ.

解答

x^{2}+3y^{2}=1 より y^{2}= \dfrac{1-x^2}{3} となり,y^{2}\geqq 0 なので,
  x^{2}\leqq 1  ∴  -1\leqq x\leqq 1
となる.よって,
  
\begin{align}
\dfrac{1}{3}x+y^{2}&=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1-x^2}{3}\\
&=-\dfrac{1}{3}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{5}{12}
\end{align}

となり, \dfrac{1}{3}x+y^{2} は,x= \dfrac{1}{2} のとき最大となる.このとき,y^{2}= \dfrac{1}{4} より,y= \pm\dfrac{1}{2}で,最大値は \dfrac{5}{12} となる.
また,x=-1 のとき最小となり,このとき,y^{2}=0 より,y=0 であり,最小値は -\dfrac{1}{3} である.

★文字消去するときは,条件を満たす範囲に注意します.

  • 例題2では与えれた条件が一次関数で任意の実数 x を取ると,実数y が必ず存在します.ですので全ての実数が範囲となります.

例題4 一文字消去〜対称式の利用〜

実数 x, yx+y=4 を満たすとき,x^{2}+y^{2}+x^{2}y^{2}+xy の最小値を求めよ.

解答

F=x^{2}+y^{2}+x^{2}y^{2}+xyとおく x+y=4\cdots ① であることに注意すると,

   
\begin{align}
F&=(x+y)^{2}+x^{2}y^{2}-xy\\
&=(xy)^{2}-xy+16\\
&=\left(xy-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{63}{4}
\end{align}

ここで,①より,
   xy=x(4-x)=-(x-2)^{2}+4
であるから,xy の取りうる値の範囲は,xy\leqq 4
よって, x^{2}+y^{2}+x^{2}y^{2}+xy は,xy= \dfrac{1}{2} のとき最小値 \dfrac{63}{4} をとる.


★例題3のように文字消去すると4次関数になってしまします.これを処理しても良いのですが,対称式ならば基本対称式を利用しましょう.後半は xy を塊とみて二次関数に帰着させています.置き換えているので必ず範囲に注意です.


例題5

実数 x, yx^{3}+y^{3}=3xy を満たすとき,x+y のとり得る値の範囲を求めよ.

解答

x+y=k とおく.x^{3}+y^{3}=3xy より,
(x+y)^{3}-3xy(x+y)=3xy から k^{3}-3kxy=3xy

(i)k \neq-1のとき, xy=\dfrac{t^{3}}{3(t+1)}

(ii)k=-1のときは成り立たない,

だからk\neq-1 で,(i)をx+y=k とあわせて,x, y は,u2次方程式
  u^{2}-ku+\dfrac{k^{3}}{3(k+1)}=0
の2解であるから,x, y が実数であることより,求める範囲は,判別式より
  k^{2}-4\cdot\dfrac{k^{3}}{3(k+1)}\geqq 0
となる.これを解くと
   3k^{2}(k+1)^{2}-4k^{3}(k+1)\geqq 0 かつ k\neq-1
   k^{2}(k+1)(k-3)\leqq 0 かつk\neq-1
   -1 \lt t\leqq 3  ∴-1\lt x+y\leqq 3


★ポイント

  • 取り得る値の範囲→最小値と最大値を求めよ,ということ.
  • これは関係式から文字消去ができません.だから,求めたい関数を文字(k)で置いて関係式に代入します.
  • 関係式が対称式なので,例題4のように基本対称式を利用します.
  • x+y,xyが表現でき,解と係数の関係を利用して実数条件を考えます.
  • 別解で,y=k-xとしてこれを関係式に代入してx二次方程式を作り,判別式で求める方法もあります.どちらも良く使うので押さえておきたい.

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