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二次関数の最大最小問題とその解き方

目次 思考力,発想力なんかいらない!

二次関数の最大最小問題とその解き方

二次関数の最大最小問題は平方完成が全て.グラフを考えればどこが最小でどこが最大になるか見えてきます.

例題を通して整理していきますね.


例題1 簡単な平方完成だけのタイプ

 x の2次関数 y=-3x^{2}+2ax+a の最大値を m とするとき,次の問いに答えよ.
(1) ma を用いて表せ.
(2) m の最小値とそのときの a の値を求めよ.

解答

(1) 上に凸のグラフなので,頂点の y 座標が 最大
   
\begin{align}
y&=-3x^{2}+2ax+a\\
&=-3\left(x-\dfrac{1}{3}a \right)^{2}+\dfrac{a^{2}}{3}+a
\end{align}

 より,x= \dfrac{1}{3}a のとき最大値 m= \dfrac{1}{3}a^{2}+a をとる.

(2)  m a の関数とみる
   
\begin{align}
m&= \dfrac{1}{3}a^{2}+a\\
&=\dfrac{1}{3}\left(a+\dfrac{3}{2}\right)^{2}-\dfrac{3}{4}
\end{align}

 より,ma=- \dfrac{3}{2} のとき最小値 - \dfrac{3}{4} をとる.


例題2 置き換えのタイプ

関数 y=\left(x^{2}+3x+\dfrac{1}{4}\right)^2+8\left(x^{2}+3x+\dfrac{1}{4}\right)+1 の最小値とそのときの x を求めよ.

ポイント

  • そのままでは処理が難しいとき,置き換えてやりやすい形へ→このままでは4次関数で,数Iの知識では解けません.塊を置き換えると二次関数になります.
  • 置き換えたら必ず範囲を調べる.

解答

   t=x^{2}+3x+\dfrac{1}{4}\cdots① とおく.
  
\begin{align}
t&=x^{2}+3x+ \dfrac{1}{4}\\
&=\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^{2}-2
\end{align}
 から t のとり得る値の範囲は,t\geqq-2 である.
t を用いて  y を表わすと
f:id:mathchem:20170228153444p:plain:w200:right  y=t^{2}+8t+1=(t+4)^{2}-15 となる.
このグラフを考えると右のようになるから,y
t=-2 のとき最小になり,最小値は 2^{2}-15=-11となる.また, tt=-2を①に代入すると x=- \dfrac{3}{2}となる.


例題3 軸が動くタイプ

a を実数とし,x の2次関数 f(x)=x^2-2ax-a-1 を考える.以下の問いに答えよ.
(1) -1\leqq x\leqq 1 における f(x) の最大値を M(a) とおく.M(a)a で表せ.
(2) -1\leqq x\leqq 1 における f(x) の最小値を L(a) とおく.L(a)a で表せ..

(15 中央大・理工/改)

ポイント

 二次関数の最大・最小問題で,軸,定義域に文字定数が含まれたら場合分けが生じます.それは軸・定義域がどこにあるかで最大値最小値が変化するからです.
 場合分けする所は下のアニメーションのようにグラフを固定して定義域を左から右へずらしていくとわかりやすいかと思います.どこで切り替わっているか,よーく確認してみてください.


f:id:mathchem:20170228220657g:plain:w400

解答

   
\begin{align}
 f(x)&=x^{2}-2ax-a-1\\
&=(x-a)^{2}-a^{2}-a-1
\end{align}

(1) 定義域 -1\leqq x\leqq 1 の中点 x=0 を境に場合わけする.

f:id:mathchem:20170228153549p:plain

0\leqq a のとき,M(a)=f(-1)=a
a\leqq 0 のとき,M(a)=f(1)=-3a


(2)

f:id:mathchem:20170228153606p:plain

1\leqq のとき,L(a)=f(1)=-3a

-1\leqq a\leqq 1 のとき,
   
\begin{align}
L(a)=f(a)&=-a^{2}-a-1\\
&=-\left(a+\dfrac{1}{2}\right)^{2}-\dfrac{3}{4}
\end{align}

a\leqq-1 のとき,L(a)=f(-1)=a


例題4 定義域が動くタイプ

 a を実数とする.定義域が a\leqq x\leqq a+4 である関数 f(x)=-x^{2}-4x-6
の最大値は a の関数であるので,これを M(a) と表す.同じく,最小値を m(a)と表す.M(a) および m(a) を求め,それぞれのグラフを描きなさい.

(07 名古屋学院大)

ポイント

 今度は上に凸のグラフです.これも例題3のアニメーションのように左から定義域を動かしていくとどこで最大・最小値が切り替わっているか分かります.実際に定義域の両端を二本の指でとり,グラフに沿って動かして確認してみてください.

解答

   
\begin{align}
f(x)&=-x^{2}-4x-6\\
&=-(x+2)^{2}-2
\end{align}


(i) M(a) について

f:id:mathchem:20170228153624p:plain


 a+4\leqq-2, つまり,a\leqq-6 のとき,
  
   
\begin{align}
M(a)&=f(a+4)\\
&=-(a+6)^{2}-2
\end{align}

 a\leqq-2\leqq a+4 ,つまり,-6\leqq a\leqq-2 のとき,

   M(a)=f(-2)=-2

 -2\leqq a のとき,

   M(a)=f(a)=-(a+2)^{2}-2

であるから,y=M(a) のグラフは下図のようになる.


(ii) m(a) について
f:id:mathchem:20170228153641p:plain


区間 a\leqq x\leqq a+4 の中点が  x=a+2 であることに注意すると,

 a+2\leqq-2, つまり,a\leqq-4 のとき,

   m(a)=f(a)=-(a+2)^{2}-2

-2\leqq a+2, つまり,-4\leqq a のとき,

   m(a)=f(a+4)=-(a+6)^{2}-2

であるから,y=m(a) のグラフは下図のようになる.

   f:id:mathchem:20170228164255p:plain:w400