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軌跡の問題とその解き方 

思考力,発想力なんかいらない!

軌跡の問題とその解き方

軌跡は以下の手順に従って求めていきます.

  1. 求めたい軌跡の点を (X,\ Y) とおく
  2. X,\ Y の関係式を作る
  3. ②から X,\ Y のみの式を作る
  4. X,\ Yx,\ y に直す

②,③は問題を解きながら慣れていくのが良いでしょう.



例題1

座標平面上の2点 \mathrm{Q}(1, 1), \mathrm{R} \left(2,\ \displaystyle\frac{1}{2} \right) に対して,点Pが円 x^2+y^2=1 の周上を動くとき,△\mathrm{PQR} の重心の軌跡を求めよ.

(08 大阪教育大/一部)

解答

三角形 \mathrm {PQR}の重心を \mathrm{G}(X, Y) とする.また,\mathrm{P}(s,\ t) とおくと,s^{2}+t^{2}=1\cdots①を満たす.
点Gは三角形PQRの重心なので
   X=\displaystyle \frac{s+3}{3},\ Y=\displaystyle \frac{1}{3}\left(t+\frac{3}{2}\right)
   ∴ s=3X-3,\ t=3Y-\dfrac{3}{2}
➀に代入して (3X-3)^{2}+\left(3Y-\displaystyle \frac{3}{2}\right)^{2}=1
両辺を 3^{2} で割ると
   (X-1)^{2}+\left(Y-\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{9}
よって求める軌跡は
   (x-1)^{2}+\left(y-\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{9}


例題2

座標平面上に直線  l:y=mx-4m と放物線 C: y=\dfrac{1}{4}x^2 がある.m は,lC が異なる2点P,Qで交わるような値をとるとする.また,線分PQの中心をMとする.
(1) lm の値にかかわりなく,ある定点を通る.この点の座標を求めよ.
(2)Mの軌跡を求めよ.

(10 南山大/設問削除)

解答

(1) ly=mx-4m
  m恒等式となる条件は,m(x-4)-y=0
  x-=4,\ y=0である.これを満たすのが定点.(x=4,\ y=0)
(2) 2点P, Qが異なる2点で交わるためには,
    \displaystyle \frac{1}{4}x^{2}=mx-4m つまり \displaystyle \frac{1}{4}x^{2}-mx+4m=0\cdots
  ➀が異なる2つの実解を持てばよい.➀の判別式を D とすると
    m^{2}-4m \gt 0  ∴ m \lt 0,\ m \gt 4 \cdots
  \mathrm{P}, \mathrm{Q} x 座標を \alpha,\ \beta とし,\mathrm{M}(X,\ Y) とおくと,X=\displaystyle \frac{\alpha+\beta}{2} であり,
  \alpha,\ \beta は➀の2解だから,解と係数の関係より,
    \alpha+\beta=4m   ∴ X=2m\cdots
 Mは l 上にあるから,Y=mX-4m\cdots
  ➂より m=\displaystyle \frac{X}{2} だから,④に代入して
    Y=\displaystyle \frac{1}{2}X^{2}-2X
  ➁, ➂より,X \lt 0,\ X \gt 8 よって,M の軌跡は
    y=\displaystyle \frac{1}{2}x^{2}-2x (x \lt 0 または x \gt 8)


例題3

2本の直線   mx-y=0,\ x+my-m-2=0
の交点を  \mathrm{P} とする. m が実数全体を動くとき,\mathrm{P} の軌跡を求めよ.

(11 獨協医大/出題形式変更)

解答

交点 P の座標を (X,\ Y)とおく.
  mx-y=0,\ x+my-m-2=0
 \mathrm{P} は2直線の交点なので,
  mY-Y=0\cdots➀  X+mY-m-2=0\cdots
を満たす.
(i)  x\neq 0 のとき,➀より  m=\displaystyle \frac{Y}{X}
 ②を代入すると,
     X+\displaystyle \frac{Y}{X}Y-\frac{Y}{X}-2=0
   ∴  X^{2}+Y^{2}-Y-2X=0\cdots ➂
 ➂から
     (X-1)^{2}\displaystyle + \left(Y-\frac{1}{2} \right)^{2}=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}
 ただし,➀に  X=0 代入すると, y=0で➁に代入すると  Y=1 なので  (0, 0),  (0, 1)を除く.
(ii)  X=0 のとき,➀より  y=0
  このとき,➁より  m=-2 となり,原点  (0, 0)を満たす点は存在する.
(i), (ii)から求める軌跡は
 円  (x-1)^{2}\displaystyle + \left(y-\frac{1}{2} \right)^{2}=\frac{5}{4} で,ただし,(0,\ 1) を除く.

東大の問題にチャレンジ!!!

mathchem.hatenablog.com


今回の基本解法が押さえてあれば方針は問題ないです.
余力がある子は是非チャレンジしてみてね!