Math Lab

数学にセンスはいらない。

因数分解とその解き方

因数分解のルール

 高校で最初に躓く人もいるでしょう.沢山問題を解けば,まあできるようになるっちゃなるんですが,それではつまらないし,時間かかってしまう。闇雲に解くのではなく,ルールを覚えてスマートに解いていきましょう.


因数分解は次に手順に従って解いていけば多くの問題は大丈夫です.


因数分解の基本ルール
 ① 共通因数でくるる
 ② 基本公式の利用 
 ③ 最低次数の文字で整理する
 ④ ➀〜③を繰り返す


➀から順に使えそうなものを選択していきます.
複雑そうな問題は最低次数について整理すると,➀,② が適用できるようになります.

基本公式

 以下の因数分解の基本公式は覚えておきましょう.4つめの公式は本番ではほとんど見ないので,高1の定期考査を終えたら忘れてもOKです.


因数分解の公式

  • ax^2+(a+b)x+bc=(ax+b)(ax+c)
  • a^2-b^2=(a+b)(a-b), a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3
  •  a^3+b^3=(a+b)(a^2-bc+b^2)
  •  a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)

  

例題1. 共通因数でくくる

   6xy-8 x-3y+4 を因数分解せよ.

解答

   
\begin{align}
&  6xy-8 x-3y+4\\
&= 2x(3y-4)-(3y-4)\\
&= (3y-4)(2x-1) 
\end{align}


共通因数見つけよ

因数分解の基本はなんといっても"共通因数を見つける"
これに尽きます。

この問題では, 2x でくくると,共通因数  3y-4 が現れてきます.3y でくくってもOKです.


例題2 最低次数の文字で整理

   x^{2}-xy-2y^{2}+3xz+3yz を因数分解せよ.


解答


\begin{align}
&  x^{2}-xy-2y^{2}+3xz+3yz\\
&=3(x+y)z+(x+y)(x-2y)\\
&=(x+y)(x-2y+3z)
\end{align}


最低次数の文字について整理せよ

ぱっと見て,共通因数を見つけたり,因数分解公式を当てはめるのは厳しいでしょう.そんなときは最低次数について整理すると上手くいくことが多いです.zが1次なので,zで整理してみましょう.


例題3 基本公式の利用

   (ac+bd)^{2}-(ad+b)^2 を因数分解せよ.


解答


\begin{align}
&  (ac+bd)^{2}-(ad+b)^2\\
&=\{(ac+bd)+(ad+bc)\}\{(ac+bd)-(ad+bc)\}\\
&=\{a(c+d)+b(c+d)\}\{a(c-d)-b(c-d)\}\\
&=(c+d)(a+b)(c-d)(a-b)
\end{align}


塊を見つけよ

高校数学の因数分解では塊を見つけて基本公式に持ち込むことも多いです.
今回では, A=(ac+bd), B=(ad+b)と置くと基本公式 A^2-B^2=(A+B)(A-B)が見えます.その後はさらに共通因数でくくっていきましょう.


例題4 基本公式を繰り返す

    x^{4}-5x^{2}+4 を因数分解せよ.


解答

   
\begin{align}
&  x^{4}-5x^{2}+4\\
&=(x^{2}-1)(x^{2}-4)\\
&=(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)
\end{align}


塊を見つけよ

4次式でもビビる必要はありません.例題3のように塊を意識しましょう.
x^2=Aとおくと,基本公式が見えてきますね.途中で終わらず,できる所まで因数分解するのを忘れずに.


例題5 最低次数の文字について整理

   ab (a+b)-2bc(b-c)+ca(2c-a)-3abc を因数分解せよ.


解答

   
\begin{align}
&  ab (a+b)-2bc(b-c)+ca(2c-a)-3abc\\
&=(b-c)a^2+(b^2-3bc+2c^2)a-2bc(b-c)\\
&=(b-c)a^2+(b-c)(b-2c)a-2bc(b-c)\\
&=(b-c)\{a^2+(b-2c)a-2bc\}\\
&=(b-c)(a+b)(a-2c)
\end{align}


最低次数の文字について整理せよ

3次は複雑に見えますが,ルールに従います.➀,②が無理なら③に進みます.ということで最低次の文字に整理しましょう.今回は a, b, c それぞれ1次なので,どの文字で整理しても大丈夫です.c で整理してみます.すると,(b-c) の共通因数が見えてきます.あとは基本公式を繰り返せばOK.


例題6 工夫して展開し,基本公式へ

   (x+1)(x+3)(x-2)(x-4)+24 を因数分解せよ.


解答

   
\begin{align}
&  (x+1)(x+3)(x-2)(x-4)+24\\
&=\{(x+1)(x-2)\}\{(x+3)(x-4)\}+24\\
&=(x^2-x-2)(x^2-x-12)+24\\
&=(x^2-x-2)\{(x^2-x-2)-10\}+24
\end{align}

X=x^2-x-2とおくと

  
   \begin{align}
&=(X^2-10X+24)\\
&=(X-4)(X-6)\\
&=(x-3)(x+2)(x^{2}-x-8)
\end{align}


工夫して一度,展開せよ

少し工夫が必要です.このままではどうすることもできないので一旦展開しますが,闇雲には展開しません.ここでも,塊を意識します.そうすると基本公式が見えてきます.


例題7 無理くり a^2-b^2

x^4+4 を因数分解せよ.


解答

   
\begin{align}
&  x^4+4 \\
&=(x^{2}+2)^{2}-(2x)^{2}\\
&=\{(x^{2}+2)+2x\}\{(x^{2}+2)-2x\}\\
&=(x^{2}+2x+2)(x^{2}-2x+2)
\end{align}


無理くり,a^2-b^2 を作れ

このままだと①〜③適用できないので式変形して,基本公式に持ち込むしかありません.



例題8 無理くり a^2-b^2

   x^{5}+x^{3}+x を因数分解せよ.

解答

   
\begin{align}
&  x^{5}+x^{3}+x\\
&=x(x^{4}+x^{2}+1)\\
&=x\{(x^{2}+1)^{2}-x^{2}\}\\
&=x\{(x^{2}+1)+x\}\{(x^{2}+1)-x\}\\
&=x(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)
\end{align}


無理くり,a^2-b^2 を作れ

最初は共通因数でくくれますね.その後は例題7と同様に式変形をして基本公式が使える形に持ち込みます.


例題9 公式利用

 x^{3}-27y^{3}+9xy+1 を因数分解せよ.


解答

   
\begin{align}
&  x^{3}-27y^{3}+9xy+1\\
&=x^{3}+(-3y)^{3}+1^{3}-3x(-3y)\cdot1\\
&=(x-3y+1)(x^{2}+9y^{2}+1+3xy+3y-x) 
\end{align}


基本公式

これは最低次の次数で整理してもどうにもなりません.どうにもならない3次のときは次の因数分解公式を疑いましょう.循環を意識すると覚えやすいと思います.

 a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)