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因数分解とその解き方

因数分解とその解き方 〜思考力,発想力なんかいらない!〜

因数分解のやり方

因数分解は次に手順に従って解いていけば多くの問題は大丈夫です.

  1. 共通因数でくるる
  2. 基本公式の利用 
  3. 最低次数の文字で整理する
  4. 1.〜3.を繰り返す

1.から順に使えそうなものを選択していきます.
複雑そうなやつは最低次数について整理すると,1. 2. が適用できるようになります.闇雲に解くのではなく,解き方を意識するとグッと楽に解けると思います


基本公式は次の4つは覚えておきましょう.

  • ax^2+(a+b)x+bc=(ax+b)(ax+c)
  • a^2-b^2=(a+b)(a-b)  a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3
  •  a^3+b^3=(a+b)(a^2-bc+b^2)
  •  a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)




例題1. 共通因数でくくる

   6xy-8 x-3y+4 因数分解せよ.

解答

   
\begin{align}
&  6xy-8 x-3y+4\\
&= 2x(3y-4)-(3y-4)\\
&= (3y-4)(2x-1) 
\end{align}

★共通因数見つけ出します.


例題2 最低次数の文字で整理

   x^{2}-xy-2y^{2}+3xz+3yz因数分解せよ.

解答


\begin{align}
&  x^{2}-xy-2y^{2}+3xz+3yz\\
&=3(x+y)z+(x+y)(x-2y)\\
&=(x+y)(x-2y+3z)
\end{align}

★3文字だと,1. 2. は厳しそう.なので,まずは最低次の文字について整理.


例題3 基本公式の利用

   (ac+bd)^{2}-(ad+b)^2因数分解せよ.

解答


\begin{align}
&  (ac+bd)^{2}-(ad+b)^2\\
&=\{(ac+bd)+(ad+bc)\}\{(ac+bd)-(ad+bc)\}\\
&=\{a(c+d)+b(c+d)\}\{a(c-d)-b(c-d)\}\\
&=(c+d)(a+b)(c-d)(a-b)
\end{align}

 
★基本公式 a^2+b^2が見えます.その後は共通因数を見つける.


例題4 基本公式を繰り返す

    x^{4}-5x^{2}+4因数分解せよ.

解答

   
\begin{align}
&  x^{4}-5x^{2}+4\\
&=(x^{2}-1)(x^{2}-4)\\
&=(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)
\end{align}

★基本公式の繰り返し.


例題5 最低次数の文字について整理

   ab (a+b)-2bc(b-c)+ca(2c-a)-3abc因数分解せよ.

解答

   
\begin{align}
&  ab (a+b)-2bc(b-c)+ca(2c-a)-3abc\\
&=(b-c)a^2+(b^2-3bc+2c^2)a-2bc(b-c)\\
&=(b-c)a^2+(b-c)(b-2c)a-2bc(b-c)\\
&=(b-c)\{a^2+(b-2c)a-2bc\}\\
&=(b-c)(a+b)(a-2c)
\end{align}

★3次は複雑に見えますが,原則に従います.1. 2.が無理なら 3. を.最低次の文字に整理します.すると (b-c) の共通因数が見えてきます.


例題6 工夫して展開し,基本公式へ

   (x+1)(x+3)(x-2)(x-4)+24因数分解せよ.

解答

★少し工夫します.このままではどうすることもできないので一旦展開しますが,塊を意識してみましょう.そうすると基本公式が見えてきます.

   
\begin{align}
&  (x+1)(x+3)(x-2)(x-4)+24\\
&=\{(x+1)(x-2)\}\{(x+3)(x-4)\}+24\\
&=(x^2-x-2)(x^2-x-12)+24\\
&=(x^2-x-2)\{(x^2-x-2)-10\}+24
\end{align}

X=x^2-x-2とおくと

  
   \begin{align}
&=(X^2-10X+24)\\
&=(X-4)(X-6)\\
&=(x-3)(x+2)(x^{2}-x-8)
\end{align}



例題7 無理くり a^2-b^2

x^4+4因数分解せよ.

解答

★このままだと①〜③適用できないので式変形するしかないです.どうやったら②に持ち込めるか...

   
\begin{align}
&  x^4+4 \\
&=(x^{2}+2)^{2}-(2x)^{2}\\
&=\{(x^{2}+2)+2x\}\{(x^{2}+2)-2x\}\\
&=(x^{2}+2x+2)(x^{2}-2x+2)
\end{align}




例題8 共通因数→無理くり a^2-b^2

   x^{5}+x^{3}+x因数分解せよ.

解答

★最初は共通因数でくくれます。その後は(7)と同様に式変形をして基本公式が使える形に持ち込みます.

   
\begin{align}
&  x^{5}+x^{3}+x\\
&=x(x^{4}+x^{2}+1)\\
&=x\{(x^{2}+1)^{2}-x^{2}\}\\
&=x\{(x^{2}+1)+x\}\{(x^{2}+1)-x\}\\
&=x(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)
\end{align}
 

例題9 公式利用

 x^{3}-27y^{3}+9xy+1因数分解せよ.

解答

★これは最低次の次数で整理してもどうにもなりません.どうにもならない3次のときは次の因数分解公式を疑いましょう.循環を意識すると覚えやすい.

    a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)


   
\begin{align}
&  x^{3}-27y^{3}+9xy+1\\
&=x^{3}+(-3y)^{3}+1^{3}-3x(-3y)\cdot1\\
&=(x-3y+1)(x^{2}+9y^{2}+1+3xy+3y-x) 
\end{align}